https://arxiv.org/html/2511.10312

Deformation theory for a morphism in the derived category with fixed lift of the codomain

導(dǎo)出范疇中具有固定值域提升的態(tài)射的形變理論

摘要：

我們針對復(fù)形之間的態(tài)射（其陪域具有固定提升）發(fā)展了形變–阻礙演算，并將其推廣至阿貝爾范疇的平坦冪零形變的導(dǎo)出范疇中。作為應(yīng)用，我們給出了一個替代性證明：在光滑真態(tài)射的概形族中，半正交分解具有唯一的形變。

1 引言
阿貝爾范疇的形變理論，以及描述該理論的形變–阻礙演算，最初在文獻(xiàn) [8, 9] 中提出。隨后，文獻(xiàn) [7] 進(jìn)一步發(fā)展了將對象提升至阿貝爾范疇的平坦冪零形變（的導(dǎo)出范疇）的形變理論。本文則推進(jìn)至下一步：針對復(fù)形態(tài)射（其陪域具有固定提升）的情形，建立其在阿貝爾范疇的平坦冪零形變的導(dǎo)出范疇中的形變–阻礙演算。

作為該新型形變理論的一個應(yīng)用，我們給出半正交分解之形變唯一性的另一種證明——這一結(jié)論是文獻(xiàn) [1] 中的關(guān)鍵組成部分。

設(shè)定與記號 由于本文理論是對文獻(xiàn) [7] 中形變–阻礙理論的推廣，我們將沿用該文獻(xiàn)中的記號與術(shù)語。我們固定一列諾特環(huán)（或凝聚環(huán)）之間的滿射序列：

在單射對象的同倫范疇中形變態(tài)射
類似于文獻(xiàn) [7] 中的方法，我們將首先證明關(guān)于線性范疇及其形變的同倫范疇的結(jié)果（見第 2 節(jié)），然后將其限制到描述我們所關(guān)心的導(dǎo)出范疇的適當(dāng)子范疇上（見第 3 節(jié)）。為此，我們將借助文獻(xiàn) [7, §6] 中的比較機(jī)制，該機(jī)制解釋了子范疇的提升群胚如何與環(huán)境范疇的提升群胚相關(guān)聯(lián)。

我們的第一個定理是以下形變–阻礙結(jié)果，將在第 2 節(jié)中證明。它是在格羅滕迪克范疇及右限制函子的框架下表述的——這也是文獻(xiàn) [7] 中所采用的設(shè)定（但與我們最終感興趣的設(shè)定是對偶的）。

在下文中，記號 K(?)指的是一個加法范疇的復(fù)形的同倫范疇（當(dāng)應(yīng)用于范疇時），或指誘導(dǎo)于同倫范疇之間的函子（當(dāng)應(yīng)用于函子時）。

H?1 的消失是涉及更高結(jié)構(gòu)的導(dǎo)出形變理論的一個影子，它也出現(xiàn)在文獻(xiàn) [7] 中。我們在此處避免展開這一理論，因?yàn)槲覀儺?dāng)前的應(yīng)用并不需要它（而且很可能我們的非同倫工具并非處理它的最佳選擇）。

注 1.2。定理 A 通過考慮三角形，恢復(fù)了文獻(xiàn) [7, 定理 5.7] 中的對象形變理論（在單射對象的同倫范疇版本中）。

并且，零對象的固定提升仍是零對象。

為達(dá)到我們的目的，我們需要定理 A 的對偶結(jié)果，即關(guān)于沿左限制函子（由張量積給出）提升的情形。該結(jié)果在定理 2.10 中給出。

導(dǎo)出范疇中的態(tài)射形變
定理 A 和定理 2.10 在抽象而一般的設(shè)定下已經(jīng)是很有用的結(jié)果。然而，正如例 1.1 所示，我們感興趣的是使用左限制函子；但準(zhǔn)凝聚層的范疇并非余格羅滕迪克范疇。人們可以取準(zhǔn)凝聚層范疇的 Pro-完備化，使其成為余格羅滕迪克范疇，但隨后需要理解原導(dǎo)出范疇中的形變理論與此 Pro-完備化的導(dǎo)出范疇之間的相容性。這一問題在文獻(xiàn) [7, §6] 中針對對象已得到解決。在第 3 節(jié)中，我們將推導(dǎo)出適用于態(tài)射的版本。

我們的主要目標(biāo)是定理 2.10 的以下推論，它具有明確的代數(shù)幾何意義。

推論 B?？紤]例 1.1 中的情形。設(shè)有一個正合三角形：

半正交分解的形變 我們現(xiàn)已到達(dá)本文發(fā)展形變理論的最初動機(jī)：證明完美復(fù)形范疇的（線性）半正交分解在光滑真概形族中具有唯一的形變。關(guān)于半正交分解的背景與上下文，可參見配套論文 [1] 以及 Kuznetsov 的 ICM 報告 [4,5]。

以下定理恰好對應(yīng)于 [1, 定理 7.7]，只是它用了一個不同的函子來表述，該函子在定義 4.1 中引入。其與 [1, 定理 7.7] 的等價性源于 [1, 定理 5.7] 中函子之間的比較。

定理 C 在第 4 節(jié)中的證明，對應(yīng)于文獻(xiàn) [1] 首版預(yù)印本中的論證。然而，該文獻(xiàn)的審稿人建議采用一種不依賴從頭構(gòu)建全新形變理論的不同論證方法。

2 單射對象的同倫范疇中態(tài)射的形變理論

本節(jié)我們證明定理 A。記號沿用該定理中的設(shè)定。我們需要一種便捷的方式來表示態(tài)射 s:F→G；為此，我們采用余鏈復(fù)形范疇 Ch(C)上的余導(dǎo)出模型結(jié)構(gòu)（coderived model structure）。

3 限制到導(dǎo)出范疇

為了將定理 2.10 應(yīng)用于我們所關(guān)心的情形，我們需要一個類似于文獻(xiàn) [7, §6.3] 中的比較結(jié)果。就幾何應(yīng)用而言，我們關(guān)注的并非是在 K(ProjProC)中形變態(tài)射，而是在那些可避免 Pro-構(gòu)造的導(dǎo)出范疇中進(jìn)行形變。

我們需要文獻(xiàn) [7, 命題 6.2] 的類比版本。首先回顧文獻(xiàn) [7, 定義 6.1] 中的如下定義：

定義 3.1。一個函子圖

4 半正交分解形變的唯一性

如引言所述，我們在第 2 節(jié)和第 3 節(jié)發(fā)展形變理論的最初動機(jī)是為了證明：半正交分解在光滑真概形族中具有唯一的形變。我們將通過建立“分解三角形”形變的唯一性結(jié)果來證明這一結(jié)論。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2511.10312v1