《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 024

024.回答數(shù)論中的四個問題

這篇文章詳細(xì)地回答了數(shù)論領(lǐng)域中四個非常關(guān)鍵且核心的問題。需要注意的是，其前提是著名的哥德巴赫猜想已經(jīng)被成功解決，在這一前提條件之下展開相關(guān)論述。在解答這些問題的時候，采用了一個特定的公式N = (q + p) / 2來進(jìn)行回應(yīng)。我們把這個特殊的公式命名為正整數(shù)的中值定理，這是一個具有重要意義的命名。至于這個公式的來源，涉及較為復(fù)雜的內(nèi)容，在這里我們就不再進(jìn)行詳細(xì)的介紹和推導(dǎo)過程的闡述了。

看下圖，

1、 對于第n個素數(shù)pn，是否有一般性的簡單公式？

回答：沒有。

看Ltg-空間理論的N+1空間，

它有合數(shù)項公式：

Nh=a(b+1)+b a,b≥1

A,b可連續(xù)取區(qū)間[0，∞) 全部正整數(shù)，而得到的合數(shù)項的值不是連續(xù)的。

素數(shù)項的值是項數(shù)N中剝離合數(shù)項Nh 剩下的那些數(shù)值，它也不是連續(xù)的，所以素數(shù)就不會有一般性的簡單公式。

進(jìn)一步解釋，素數(shù)在數(shù)論中占據(jù)著極為特殊的地位，它們是只能被 1 和自身整除的正整數(shù)。由于其分布的不規(guī)則性和獨(dú)特的性質(zhì)，導(dǎo)致很難找到一個統(tǒng)一且簡單的公式來直接表示第 n 個素數(shù) pn。盡管數(shù)學(xué)家們長期以來一直在不懈探索，嘗試從各個角度去尋找這樣的公式，但目前仍未取得成功。而且從合數(shù)項公式以及素數(shù)項與合數(shù)項的關(guān)系來看，也進(jìn)一步印證了素數(shù)不存在一般性簡單公式這一結(jié)論。

2、 從一個給定的素數(shù)得到下一個素數(shù)是否存在一般行的簡單公式？既是否存在像Pn+1=Pn^2+2這樣的遞推公式？

回答：從一個給定的素數(shù)獲取下一個素數(shù)，存在一種普遍適用的簡單公式，例如：q = 2N - p。其中，q代表一個未知的素數(shù)，2N是一個正整數(shù)，而p必須是一個已知的、與素數(shù)q滿足“中值定理”條件的素數(shù)。這類公式并不具備遞推關(guān)系。

這里需要特別說明的是，雖然存在如q = 2N - p這樣能從一個給定素數(shù)獲取另一個素數(shù)的公式，但它并非像Pn + 1 = Pn^2 + 2這種形式的遞推公式。因為遞推公式意味著可以通過前一項直接推導(dǎo)出后一項，有著固定的運(yùn)算模式和規(guī)律。然而素數(shù)分布的復(fù)雜性和獨(dú)特性，使得無法構(gòu)建出這樣簡單且具有普遍遞推性的公式。素數(shù)在數(shù)論中就像是一群特立獨(dú)行的“個體”，它們之間沒有那種簡單、規(guī)律可循的遞推聯(lián)系，所以不能存在像Pn + 1 = Pn^2 + 2這樣簡單的遞推公式來從一個給定素數(shù)得到下一個素數(shù)。

3、 有沒有這樣一個法則存在，使得對于任何給定的素數(shù)p，都可以得到一個更大的素數(shù)q ？

回答：當(dāng)然可以。在公式 q = 2N - p) 中，只需將 p 取為中值定理的前端素數(shù)即可。

具體來說，在運(yùn)用這個公式的時候，我們先確定一個正整數(shù) 2N，再選取一個滿足中值定理條件的已知素數(shù) p 作為前端素數(shù)，將其代入公式q = 2N - p 中，計算得出的結(jié)果 q 就有很大可能是我們要找的那個更大的素數(shù)。

不過需要注意的是，雖然按照這個方法操作，在很多情況下能夠得到素數(shù) q，但這并不意味著每次計算得出的 q 一定就是素數(shù)，還需要進(jìn)一步對q 進(jìn)行素性檢驗，只有通過檢驗確認(rèn) q 只能被 1 和自身整除時，才能確定 q 是符合要求的更大素數(shù)。而且由于素數(shù)分布的復(fù)雜特性，目前還沒有一個絕對萬能、無需檢驗就能確保得到更大素數(shù)的法則，但這個公式為我們尋找更大素數(shù)提供了一種可行且有效的方法和思路。

4、 小于一個給定的數(shù)x的素數(shù)有多少？

回答：設(shè)定一個區(qū)間[0, N]，使用合數(shù)項公式：

Nh = a(b+1) + b 其中 a, b ≥ 1

可以求出該區(qū)間內(nèi)的所有合數(shù)項 Nh。而素數(shù)項 Ns 則可以通過 Ns = N - Nh 計算得出，這個項數(shù)即為區(qū)間內(nèi)的素數(shù)總數(shù)。

具體來講，在區(qū)間 [0, N] 里，我們依據(jù)合數(shù)項公式 Nh = a(b + 1) + b（a, b ≥ 1），通過讓 a 和 b 在滿足條件的范圍內(nèi)取值，就能依次算出該區(qū)間內(nèi)所有的合數(shù)項 Nh。由于正整數(shù)要么是素數(shù)要么是合數(shù)（1 除外，在討論素數(shù)相關(guān)問題時一般不考慮 1），那么用區(qū)間內(nèi)正整數(shù)的總數(shù)N 減去算出的合數(shù)項總數(shù) Nh，剩下的就是素數(shù)項 Ns 的數(shù)量，這個 Ns 的值也就是小于等于給定數(shù) N 的素數(shù)的個數(shù)。

如果給定的是小于 x 的素數(shù)個數(shù)，我們可以先確定一個包含 x 的合適區(qū)間 [0, N]（N 大于等于 x），按照上述方法算出小于等于N 的素數(shù)個數(shù)后，再根據(jù)具體情況判斷是否需要進(jìn)一步調(diào)整以準(zhǔn)確得到小于 x 的素數(shù)個數(shù) 。

通過上述方法，我們不僅能確定小于給定數(shù)x的素數(shù)數(shù)量，還能對素數(shù)的分布規(guī)律有更直觀的認(rèn)識。具體操作時，先根據(jù)合數(shù)項公式Nh =a(b+1)+b（a,b≥1）列舉出區(qū)間[0，N]內(nèi)所有可能的合數(shù)，再通過計算N與這些合數(shù)數(shù)量的差值Ns=N- Nh，就能準(zhǔn)確得到該區(qū)間內(nèi)素數(shù)的總數(shù)。這一過程不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，也展示了如何將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為可操作的步驟，為深入研究素數(shù)性質(zhì)提供了有力工具。

對全文的總結(jié)如下：

本文圍繞數(shù)論中的四個關(guān)鍵問題展開了深入探討，在哥德巴赫猜想成功解決這一前提下，借助正整數(shù)的中值定理及相關(guān)公式給出了詳細(xì)解答。對于第n個素數(shù)pn是否存在一般性簡單公式，答案是否定的，這源于素數(shù)分布的不規(guī)則性與獨(dú)特性質(zhì)，以及合數(shù)項和素數(shù)項的關(guān)系。

從一個給定素數(shù)獲取下一個素數(shù)雖存在如q = 2N - p的公式，但不存在像Pn + 1 = Pn^2 + 2這樣簡單的遞推公式，因為素數(shù)間缺乏簡單規(guī)律的遞推聯(lián)系。對于能否從給定素數(shù)p得到更大素數(shù)q，利用q = 2N - p公式，選取滿足條件的素數(shù)p代入計算，雖結(jié)果不一定是素數(shù)，但為尋找更大素數(shù)提供了可行方法。

而要確定小于給定數(shù)x的素數(shù)數(shù)量，可通過設(shè)定區(qū)間[0,N]，用合數(shù)項公式求出合數(shù)項，再用總數(shù)減去合數(shù)項得到素數(shù)項數(shù)量，進(jìn)而了解素數(shù)分布規(guī)律。

這些研究成果為數(shù)論領(lǐng)域進(jìn)一步探索素數(shù)性質(zhì)提供了重要思路和方法。

感謝WPS AI的鼎力相助！

2025年11月29日星期六