Completions of complexes of differential modules on singular schemes

奇異概形上微分模復形的完備化

https://arxiv.org/pdf/2508.21596

摘要

斯賓塞上同調(diào)理論研究的是光滑解析空間上的微分算子環(huán) D D 的模鏈復形的上同調(diào)。本文給出了適用于域上有限型奇異概形（singular schemes of finite type over a field）的斯賓塞上同調(diào)的一般化。我們的動機源于維諾格拉多夫（Vinogradov）關(guān)于奇異仿射簇上微分算子同調(diào)性質(zhì)的一個猜想：即，某些此類算子復形無圈（acyclic）當且僅當該簇是光滑的。我們將對該猜想（按其原始表述）給出否定的回答。原則上，維諾格拉多夫猜想也可針對一般 D D-模的斯賓塞復形提出——然而此時答案是平凡的，因為奇異性阻礙了具有良好性質(zhì)的斯賓塞上同調(diào)的定義。本文的主要成果是：在一大類奇異概形上構(gòu)造了一個適合作為空間上同調(diào)理論的斯賓塞復形。在此基礎上，我們得以在該框架下重新提出維諾格拉多夫的問題，并給出一個更為肯定的回答。我們的主要技術(shù)借鑒了哈茨霍恩（Hartshorne）通過形式完備化（formal completion）構(gòu)造德拉姆上同調(diào)的方法。

1. 引言

對任意光滑解析空間 X X 及其上的向量叢 E E，可賦予來自鏈復形的若干不變量：

這被 Johnson 用來以特定選取的 D-模的 Ext 群來計算斯賓塞上同調(diào)群。代數(shù)理論在某種精確的意義下與拓撲理論互為伴隨（adjoint），這一關(guān)系由 Johnson（同上文獻）進行了深入研究。

Johnson 指出，該理論可完全推廣至光滑代數(shù)簇的情形；然而，從光滑情形躍遷至一般（即奇異）情形，其成效遠不如最初設想的那樣豐碩，原因在于：在奇異空間上， D -模具有一系列不良性質(zhì)［BGG72］。迄今為止，代數(shù)理論尚未被恰當?shù)赝茝V到一般奇異空間（如任意代數(shù)簇）的情形。

1. 維諾格拉多夫猜想

1. 奇異情形的樸素處理

1. 完備的斯賓塞上同調(diào)

在上述內(nèi)容中，我們計算了配對并進行了完備化以得到完備微分。我們也應當能夠同時對兩個論證進行完備化，從而在完備模上獲得一個配對，由此給出完備微分。作為合理性檢驗，我們在此驗證這一點。

1. 導出完備 D D-模的理論與性質(zhì)

導出完備化攜帶著更高階的同調(diào)信息，用以修正未取導出的完備化（即經(jīng)典完備化）對對象作用時的非正合性；特別地，它能探測到經(jīng)典完備化所無法察覺的撓（torsion）與極限現(xiàn)象。因此，若僅對經(jīng)典（未取導出的）完備化取上同調(diào)，便會丟失高階障礙信息，通常無法給出關(guān)于完備層的正確不變量；而導出完備化則包含了經(jīng)修正后的、完備層的正確不變量。事實上，取

使得導出完備化的上同調(diào)即為上同調(diào)的正確完備化。

另一項有用的性質(zhì)是：對有限生成理想 I I 而言，沿 I I 取導出完備化，通過張量–Hom 伴隨關(guān)系，與關(guān)于 I I 的導出局部上同調(diào)構(gòu)成右伴隨（反之，導出局部上同調(diào)為其左伴隨）。該結(jié)果歸功于 [TLL97]，其中作者給出了著名的 Greenlees–May 對偶性 [GM92] 的層化（sheafification）版本。

1. 導出完備的斯賓塞上同調(diào)

我們的主要論斷是：導出張量積的導出完備化，在導出范疇的意義下，是斯賓塞上同調(diào)的一個合適定義，因為其上同調(diào)層即為完備的斯賓塞上同調(diào)。

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