西亞、北非和南亞的古代數(shù)學知識
1.巴比倫的數(shù)學成就

19世紀前期以來，考古學家在美索不達米亞所進行的系統(tǒng)的發(fā)掘工作，發(fā)現(xiàn)了大約50萬塊刻有古楔形文字的泥版，其制作年代有些是公元前2000年左右，而大部分是公元前600年到公元300年間的。其中約有300塊已被鑒定為載有數(shù)字表和一批數(shù)學問題的純數(shù)學泥版。這使我們大大豐富了關(guān)于古代巴比倫數(shù)學發(fā)展狀況的了解。

巴比倫人很早就有了自然數(shù)和分數(shù)的記法，不過還不夠完善；他們既使用十進位制，又使用六十進位制。蘇美爾的數(shù)字是用蘆管劃在泥版上的刻痕來表示的。在十進制記數(shù)中，10以內(nèi)的數(shù)用斜劃的刻痕數(shù)目表示，十位數(shù)和十的倍數(shù)則用豎劃的痕跡表示。在以六十為基數(shù)的記數(shù)法中，用細蘆管來劃個位數(shù)和十位數(shù)，再用粗蘆管斜劃來記六十的個數(shù)，豎劃則代表六百的個數(shù)。大約到公元前2500年左右，十進位記數(shù)法已被廢棄，并用楔形筆尖來代替蘆管；用單獨一個豎劃表示60的冪次，即1、60、3600等，用兩個豎劃形成的一個箭頭表示10、600、36000等。到公元前2000年左右，巴比倫設立了附屬于寺廟的學校，在那里數(shù)學得到了進一步的發(fā)展，采用了蘇美爾人表示整數(shù)的方法來記分數(shù)。尖筆寫的豎劃既表示1、60、3600等，也表示1／60、1／3600等；箭頭記號既表示10、600等，也表示1／10、1／600等；其它的分數(shù)則分解為以60為基數(shù)的幾個分數(shù)單位表達。

由于整數(shù)和分數(shù)的記法混同，而且沒有什么記號表示某一位上沒有數(shù)，即使到了塞琉西德時期(始自公元前323年），雖然引入一種分開記號表示某位上沒有數(shù)，也仍然不能辨明最右端還有沒有數(shù)。所以他們寫的數(shù)是意義不定的，常常要根據(jù)內(nèi)容來揣猜它的確切數(shù)值。

巴比倫人大體上已經(jīng)能夠進行整數(shù)的四則運算了。由于從1到59這些數(shù)都是用若干個基本記號組合而成的，所以加減法只需加上或去掉這些記號就成了。整數(shù)乘法如乘以47，其法是先乘以40，再乘以7，然后二者相加。他們也進數(shù)整數(shù)除以整數(shù)的運算，由于除一個整數(shù)a就是乘以它的倒數(shù)1／a，這就涉及到分數(shù)的運算。巴比倫人把倒數(shù)化成60進制的小數(shù)，制定了倒數(shù)的數(shù)字表，供使用者查出1／a形式的數(shù)所寫成的60進制的小數(shù)。而對于1／7、1／11、1／13等數(shù)值，其60進制的小數(shù)是無限循環(huán)的，則只給出近似值。

巴比倫還制定了表示平方、平方根、立方和立方根的數(shù)表。他們給出的2的近似值是1.414243……，而不是1.414214……，看來他們還沒有"無理數(shù)"的概念?？偟目磥恚麄兊脑S多算術(shù)程序都是借助于各種數(shù)表進行的。這種情況表明，古代巴比倫人具有高度的計算技巧，他們是數(shù)表的辛勤制作者。

大約在公元前2000年，巴比倫算術(shù)已推進到一種高度發(fā)展的用文字敘述的代數(shù)學。早期巴比倫代數(shù)的一個基本問題，是求出一個數(shù)，使它和它的倒數(shù)之和等于已給數(shù)。這是一個解二次方程的問題；其它還有給定兩數(shù)之和與兩數(shù)之積而求出這兩數(shù)，也可化為上述問題。巴比倫人還會用變量轉(zhuǎn)換法把復雜的代數(shù)問題化成較簡單的問題。他們能用某些特殊方法解出含五個未知量的五個方程這類個別的問題，還會用配方法來解二次方程，并討論了某些三次方程和雙二次(四次）方程。他們的代數(shù)方程是用語文敘述并以語文敘述其解法的。他們常用長、寬和面積這些字來表示未知量，雖然這些量并不一定就是這些幾何量。

巴比倫人偶而也用記號表示未知量，不過他們解代數(shù)問題時只指出解題的步驟，而并不說明每步解法的理由。

在公元前300年左右的一塊泥版上，記下了兩個有趣的級數(shù)問題人們不知道他們是否已經(jīng)掌握了有關(guān)級數(shù)求和的公式，因為在處理這類特殊問題時，他們沒有給出推導。

幾何在古巴比倫人的心目中并不是很重要的，也未成為一門獨立的學科。他們的幾何學是與實際測量密切聯(lián)系著的，主要特征是它的代數(shù)性質(zhì)。一些較復雜的問題雖然是以幾何術(shù)語表述的，但實質(zhì)上還是一些特殊的代數(shù)問題。早在公元前2000年至前1600年，他們就已經(jīng)掌握了計算長方形、直角三角形、等腰三角形和一邊垂直于底邊的梯形的面積，長方形的體積以及以特殊梯形為底的直棱柱體積的一般規(guī)則，不過，他們所用的公式可能并不完全正確?？梢钥隙ǖ氖?，他們已經(jīng)掌握了畢達哥拉斯定理，知道三角形的相似以及相似三角形對應邊成比例，知道過等腰三角形頂點所作的底邊的垂直線平分底邊，知道內(nèi)接于半圓的角是直角。他們曾用A＝C2／12(C為圓周長）這個法則計算圓面積，這實際上是用了π＝3；在近期發(fā)現(xiàn)的一塊泥版上，在給出正六邊形及其外接圓周長之比時，其結(jié)果表明他們是用3又1/8作為π的近似值。

古巴比倫的數(shù)學具有明顯的實用性質(zhì)，重在具體計算，而缺少抽象的數(shù)學問題。頻繁的商業(yè)活動需要他們用算術(shù)和簡單代數(shù)知識計算長度、重量、單利、復利、稅額，國家和社會之間糧食的分配，劃分土地和處理遺產(chǎn)引出的代數(shù)問題等。另外，制訂歷書，預測天象，挖運河，修堤壩，建谷倉和房屋等，都會引出大量的數(shù)字計算和幾何問題。這使他們把算術(shù)推進到相當高的水平并出現(xiàn)了代數(shù)的開端。但總的說來，他們的算術(shù)、代數(shù)和幾何學法則，都是根據(jù)物理事實摸索積累或直觀得出的。而關(guān)于證明、解題的邏輯步驟和結(jié)構(gòu)，以及各種問題求解的條件等，在巴比倫的數(shù)學里是找不到的。

2.埃及的數(shù)學知識

古代埃及的數(shù)學沒有達到巴比倫數(shù)學那樣的水平，這很可能是由于巴比倫的經(jīng)濟發(fā)展速度較快，貿(mào)易更為活躍所致。

直到公元前332年亞歷山大大帝征服埃及之前，埃及文明一直按照它自己的道路延續(xù)著?，F(xiàn)存的埃及古代數(shù)學資料主要是產(chǎn)生于公元前1700年左右的兩批紙草書。一批保存在莫斯科，被稱為"莫斯科紙草書"；一批是1858年英國人HenryRhind發(fā)現(xiàn)的，保存在英國博物館，稱為"Rhind紙草書"。前者包含有25個數(shù)學問題，后者包含有85個數(shù)學問題。這些問題大概是埃及人早在公元前三千年前已經(jīng)知道的典型問題和典型解法的范例。從那時以后，埃及的數(shù)學知識和技巧很少有新的發(fā)展，甚至可能還有所退步。

埃及僧侶文的整數(shù)寫法由于書寫方式是自右而左的，所以｜｜｜nn表示23。

埃及的算術(shù)主要用迭加法，加減法就是用添上或劃掉一些記號而得出結(jié)果，乘除法也具有加法的特征。由于任何一個數(shù)都可以組成2的各次冪的和，所以乘法和除法通?？捎眠B續(xù)加倍的運算來完成。

埃及數(shù)系中也有分數(shù)的記法，但比較復雜。

在Rhind紙草書中，包含有求一個未知量的問題，相當于現(xiàn)在所說的一元一次方程。對于此類問題，埃及人是用純粹算術(shù)方法求解的。有些問題是用"試位法則"求出的，紙草書中只涉及到最簡單的二次方程(如ax2＝b)，也出現(xiàn)一些算術(shù)數(shù)列和幾何數(shù)的問題；不過他們所用的方法都純粹是算術(shù)的，他們還未把解方程看作是一門獨特的學科，也只用文字說出解題步驟，而不說明其理由。

在兩份紙草書的110個問題中，有26個是幾何問題，但仍然只用算術(shù)和代數(shù)方法來求解這些幾何性質(zhì)的問題。他們有計算長方形、三角形和梯形面積的固定方法，如用一個數(shù)乘以另一個數(shù)的一半來計算三角形的面積，但無法肯定這兩個數(shù)是代表兩個邊還是代表底和高。他們計算圓面積的公式是A＝(8d／9)2，d為直徑，這等于取π＝3.1605。古埃及人也有了計算立方體、箱體、柱體和其他規(guī)則形體體積的法則，不過有一些只是近似的。最令人驚奇的是他們已有了計算方棱錐平頭截體體積的正確公式，這在古代東方其他地區(qū)的數(shù)學中尚未見到。不過，至今還未發(fā)現(xiàn)古埃及人掌握畢達哥拉斯定理的證據(jù)。

總之，古埃及人已經(jīng)把數(shù)學廣泛應用到國家和社會事務的管理，應用到計算田地面積和谷倉容積，應用到征稅、單位換算和工程用材等方面；特別是應用數(shù)學去制訂歷法，確定節(jié)日，測定廟宇和金字塔的方位等。不過，他們的數(shù)學還沒有成套的記號，更沒有證明、邏輯推理等抽象思維和一般方法論，大多只是一些無聯(lián)系的簡單法則和經(jīng)驗公式，還沒有超過一般計算工具的水平。

3.古印度的數(shù)學知識

古代印度的數(shù)學成就，沒有達到古巴比倫和埃及的高度，不過在受到希臘數(shù)學的影響之前，也有他們自具特色的一些成就。

由于缺少可靠的記錄，對公元前800年之前印度數(shù)學的發(fā)展，目前知之甚少，只是從一些早期城市遺跡和灌溉工程可知，古印度人早已有了書寫、計算和度量衡體系，并且有了很基本的數(shù)學和工程知識。

公元前800年到公元前200年，是印度產(chǎn)生"繩法經(jīng)"的年代。"繩法經(jīng)"是一類宗教經(jīng)文，包含有修筑祭壇的法則。在這些宗教作品以及一些錢幣和銘文中，都包含著一些有關(guān)數(shù)學的內(nèi)容。

在亞歷山大大帝于公元前326年征服西北印度后，建立了莫爾雅帝國，并很快擴展到全印度。莫爾雅最著名的統(tǒng)治者阿索庫(公元前272-前232)在印度的每個重要城市立了大石柱，保存下了當時的數(shù)字符號。這些符號后來不斷發(fā)生變化，最典型的是Brahmi式記號。這一組記號從1到9的每一個數(shù)都有一個特殊的符號，這是它的優(yōu)越之處；缺陷是沒有零，也沒有進位記法。

在公元前5或4世紀出現(xiàn)的一部"繩法經(jīng)"里，在講到拉繩設計祭壇時，包含了一些古印度時期所知的幾何法則。這些法則規(guī)定了祭壇的形狀和尺寸所應滿足的條件，最常用的是正方形、圓形和半圓形三種形狀；但不管何種形狀，祭壇的面積必須相等。他們掌握了怎樣求等于兩個正方形之和或差的一個正方形，或等于一個給定矩形的正方形；他們還能作出與正方形等面積的圓?；騼杀队谡叫蚊娣e的圓以便采用半圓形的祭壇。他們實際上用到了解圓方問題的法則：

在關(guān)于祭壇形狀的設計中，印度人也懂得了畢達哥拉斯定理，他們說："矩形對角線生成的面積，等于矩形二邊各自生成的兩塊面積之和"。但是，總的說來，古代印度的幾何學只不過是一些無關(guān)聯(lián)的簡單法則，而且都是用文字敘述的；它們都是經(jīng)驗性的，沒有任何證明的思想。

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