歐幾里得與《幾何原本》

歐幾里得(約公元前330～前275)是亞歷山大前期的第一個大數(shù)學(xué)家。亞歷山大前期是指從公元前4世紀(jì)到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區(qū)域的統(tǒng)治者為止，這一時期，希臘數(shù)學(xué)發(fā)展達(dá)到了鼎盛時期。歐幾里得生于雅典，曾就學(xué)于柏拉圖學(xué)派。大約在公元前300年左右，在托勒密一世王的邀請下，歐幾里得來到亞歷山大城傳授數(shù)學(xué)。在此，歐幾里得完成了他的代表作，也是希臘數(shù)學(xué)的百科全書——《幾何原本》。

古希臘幾何學(xué)從泰勒斯開始，經(jīng)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派到柏拉圖學(xué)派，發(fā)展為建立在定義和公理基礎(chǔ)上演繹而成的一套嚴(yán)密體系。歐幾里得的《幾何原本》是集大成之作，充分地體現(xiàn)了古希臘幾何學(xué)的發(fā)展結(jié)果，成為標(biāo)志古代希臘幾何學(xué)形成完整體系的里程碑。歐幾里得不僅在選擇公理和編排定理次序上下了一番功夫，而且他還增補了一些定理，給出了一些證明；特別是體系的嚴(yán)謹(jǐn)與論證的嚴(yán)密更使后人贊嘆不已。

《幾何原本》的論述結(jié)構(gòu)是以少量原始概念和不需證明的幾何學(xué)命題作為定義、公理與公設(shè)，由此出發(fā)通過邏輯推理證明一系列的幾何定理，形成一個由簡至繁的體系。這種公理化方法，至今仍是構(gòu)造科學(xué)理論體系的重要方法。

《幾何原本》的內(nèi)容共計有13篇，有的版本列出15篇，其中第14篇和第15篇非歐幾里德所作，而是后人補上去的。

第1篇首先給出了23個定義，涉及到點、線、面、圓和平行線等一批原始概念；然后提出了5個公設(shè)和5個公理：

公設(shè)1.從任一點到任一點作直線(是可能的）。

公設(shè)2.把有限直線不斷循直線延長(是可能的）。

公設(shè)3.以任一點為中心和任一距離(為半徑）作一圓(是可能的）。

公設(shè)4.所有直角彼此相等。

公設(shè)5.若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點。

公理1.跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。

公理2.等量加等量，總量仍相等。

公理3.等量減等量，余量仍相等。

公理4.彼此重合的東西是相等的。

公理5.整體大于部分。

歐幾里得同意亞里士多德的觀點，即認(rèn)為公理是適用于一切科學(xué)的真理，而公設(shè)則只適用于幾何學(xué)。其中第5公設(shè)是歐幾里得的杰作，他可能認(rèn)為為了避免出現(xiàn)無限遠(yuǎn)空間的問題，這一公設(shè)是必要的。但是，這個公設(shè)由于不如前4個公設(shè)那么一望而知，人們不容易一下子接受，甚至有人認(rèn)為歐幾里得之所以把它作為公設(shè)，是因為他無法證明它。這成為《幾何原本》的一個"污點"，為洗刷這一污點，在歐幾里得提出這一公設(shè)之后，不斷引起人們用其它公理和公設(shè)予以證明的努力以及對它的種種懷疑。在此后的兩千年間，對它證明的努力終于失敗，而對它的懷疑則產(chǎn)生了非歐幾何。1826年，俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基(1792～1856）宣讀了他的關(guān)于非歐幾何的論文《簡要敘述平行線定理的一個嚴(yán)格證明》，這標(biāo)志著幾何學(xué)的新革命。非歐幾何的發(fā)展不僅為相對論的產(chǎn)生準(zhǔn)備了條件，更為重要的是它所引入的新思想，從根本上更新了古老的幾何觀念。這一結(jié)果是歐幾里得無法預(yù)料的。

第1篇在公設(shè)和公理之后，還給出了48個命題。這48個命題的內(nèi)容可以分為3類，第一類是從命題1到命題26，主要討論了三角形和垂直(垂線）問題，包括三角形的三個全等定理；第二類是從命題27到命題32，主要討論了平行線問題，并證明了三角形的三個內(nèi)角之和等于兩個直角；第三類是從命題33到命題48，主要討論了平行邊四形、三角形和正方形，特別注意面積問題，最后的兩個命題分別證明了畢達(dá)哥拉斯定理及其逆定理。關(guān)于畢達(dá)哥拉斯定理的證明是通過面積做出的，先證出△ABD△FBC，矩形BL＝2△ABD，正方形GB＝2△FBC，于是得到：矩形BL＝正方形GB，同樣有矩形CL＝正方形AK。所以，正方形BE＝正方形GB＋正方形AK，即BC2＝AB2＋AC2。

第2篇有14個命題，主要討論了面積的變換和幾何代數(shù)法，特別是幾何代數(shù)法，反映了希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的特點。從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開始，希臘人不承認(rèn)存在無理數(shù)，所以他們用線段來代替數(shù)，處理長度、角度、面積和體積。這樣，兩數(shù)的乘積為兩邊長等于兩數(shù)的矩形的面積；三數(shù)的乘積為棱長、寬和高分別等于三數(shù)的長方體體積；兩數(shù)相加減則用把一線段延長或?qū)σ痪€段截割來表示；兩數(shù)相除則為兩線段之比。

第3篇有37個命題，這些命題全部與圓有關(guān)。它首先給出了與圓有關(guān)的一些定義，然后討論了弦、切線、割線、圓心角及圓周角等問題。

第4篇有16個命題，主要討論了圓內(nèi)接和圓外切圖形。在圓內(nèi)接正多邊形中，除了正方形、正五邊形和正六邊形之外，最后的命題還指出了正十五邊形的建立。據(jù)說，圓內(nèi)接正十五邊形產(chǎn)生于天文學(xué)。

第5篇先給出了18個定義，涉及幾個量之比的相互關(guān)系；然后用25個定理證明了比例的一些基本性質(zhì)。這一篇被認(rèn)為是對歐多克斯的比例理論的闡述。

第6篇有33個命題，主要是利用第5篇的比例理論討論了相似形問題。

第7篇至第9篇共有102個命題，主要討論了數(shù)論，即整數(shù)和整數(shù)之比的性質(zhì)問題?！稁缀卧尽分兄挥羞@3篇討論了算術(shù)問題，不過，關(guān)于比例的定義和定理，有很多是重復(fù)了第5篇的內(nèi)容。那么為什么歐幾里德仍然要把數(shù)論列為獨立的篇章呢？有兩種看法，推測了歐幾里得的出發(fā)點：一種看法認(rèn)為歐幾里得認(rèn)為在他前幾篇中所用的量的概念中并不包括數(shù)；因此需要把關(guān)于數(shù)的比的命題重新證一遍；另一種看法是關(guān)于整數(shù)和可公度比的理論是歐多克斯以前就有的，歐里得很可能是按傳統(tǒng)方式對獨立發(fā)展的畢達(dá)哥拉斯的理論和歐多克斯的理論分別加以介紹。

第10篇有115個命題，主要是對無理量(即與給定量不可公度的量）進(jìn)行分類。

第11篇首先給出了關(guān)于立體、立體的邊界、直線與平面的垂直、兩平面的垂直、平面與平面的夾角等的定義，另外還定義了平行平面、相似立體形、立體角、棱錐、棱柱、球、圓錐、圓柱、立方體、正八面體、正十二面體等立體形。這一篇的39個定理，證明了直角和平面的性質(zhì)以及多面體的一些特殊情形。

第12篇有18個命題，主要證明了關(guān)于面積和體積的定理，特別是關(guān)于曲線和曲面所圍成的面積和體積。歐幾里得的證明體現(xiàn)了窮竭法的思想。

第13篇有18個命題，討論了正多邊形的性質(zhì)及其內(nèi)接于圓時的性質(zhì)，并論述了怎樣把5種正多面體內(nèi)接于一個球的問題。

《幾何原本》全書這467個命題，涉及初等幾何的各個方面，反映了古希臘幾何學(xué)的成就。全書內(nèi)容是由少數(shù)定義、公設(shè)、公理演繹而得，足見歐幾里得選擇公理、編排體系之出色。當(dāng)然，這部巨著也并非沒有缺點：有個別證明證錯了，也有些定義含糊而不明晰；有的內(nèi)容前后重復(fù)，也有些內(nèi)容帶有前人著作堆砌的痕跡。然而，暇不掩瑜，這些缺點同這部巨著的成就相比是微不足道的，《幾何原本》的成功使它對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響超過任何一本書。

《幾何原本》起初以手抄本形式流傳，在歐幾里得死后700年，《幾何原本》出版。1120年被譯成拉丁文，1570年出現(xiàn)英譯本，到19世紀(jì)末，已有1000多種版本。中國最早的譯本是1607年(明朝萬歷丁未年），由利瑪竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷，1857年(清朝咸豐7年）由偉烈亞力和李善蘭合譯了后9卷。還應(yīng)特別指出的是，《幾何原本》在數(shù)學(xué)教育上的不容忽視的價值。直到19世紀(jì)末，《幾何原本》一直是幾何學(xué)的教學(xué)課本；就是在當(dāng)代，《幾何原本》的一些內(nèi)容仍是中學(xué)幾何教材所不可缺的。它作為學(xué)生接受嚴(yán)格的邏輯訓(xùn)練和數(shù)學(xué)訓(xùn)練的工具，曾經(jīng)訓(xùn)練出一代又一代的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。

歐幾里得在數(shù)學(xué)研究上還做了其它一些工作，保存下來的有他的兩本數(shù)學(xué)著作——《數(shù)據(jù)》和《論圖形的剖分》，《數(shù)據(jù)》中的材料與《幾何原本》基本相同，只是某些特殊定理有所不同，它可能是供學(xué)習(xí)《幾何原本》用的習(xí)題集；《論圖形的剖分》則主要討論了如何把所給圖形分成其它圖形。歐幾里得還有幾部已失傳的數(shù)學(xué)著作，根據(jù)后人記載的情況看，有一本《二次曲線》，據(jù)說這本書成為阿波羅尼烏斯的《圓錐曲線》中頭3篇的主要內(nèi)容；還有《衍論》和《曲面-軌跡》，這兩本書的大部分內(nèi)容和性質(zhì)已無人知道，據(jù)后人的零散記載推測，前一部書可能是和幾何做圖有關(guān)，后一部書可能是討論曲面的軌跡問題；另外還有一本《辨?zhèn)涡g(shù)》，可能是書中包含有故意給出的錯誤證明，以達(dá)訓(xùn)練學(xué)生的目的。在歐幾里得的天文學(xué)教本《現(xiàn)象》中，涉及到球面幾何的問題。

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