熵驅(qū)動的暴脹 Inflation from entropy

https://arxiv.org/pdf/2509.23987

我們研究了一種修改引力理論的宇宙學解，該理論源于時空度規(guī)與由幾何和物質(zhì)場誘導的度規(guī)之間的量子相對熵。真空方程允許暴脹解，暗示暴脹可能具有熵起源。方程還允許一個類幻影（phantom-like）行為的演化區(qū)域。假設(shè)慢滾參數(shù)與CMB觀測量之間的關(guān)系在熵引力中仍然成立，則該理論預言了一個符合觀測的功率譜。

引言

自黑洞熵 [1, 2] 和霍金輻射 [3] 被發(fā)現(xiàn)以來，量子信息與其和引力之間的關(guān)系一直是理論物理學家關(guān)注的核心問題。黑洞熵的發(fā)現(xiàn)表明，引力本質(zhì)上編碼了量子信息，因為熵量化了觀測者所無法獲知的微觀態(tài)數(shù)目。隨著全息原理 [4–6] 的提出以及近年來在糾纏熵方面取得的進展 [7–12]，這一聯(lián)系進一步深化。這些發(fā)展挑戰(zhàn)了將引力純粹視為幾何現(xiàn)象的經(jīng)典觀念，轉(zhuǎn)而提出引力可能源于量子自由度的集體糾纏熵，從而將引力重新定義為一種熱力學或信息論現(xiàn)象 [13]。

一個全面的信息論引力方法有望為早期宇宙宇宙學、黑洞物理 [14] 以及量子引力 [15, 16] 提供更深刻的洞見。近期的一項研究提出，時空度規(guī)與由幾何和物質(zhì)場誘導的度規(guī)之間的量子相對熵可作為支配引力理論的基本作用量 [17]。量子相對熵 [18] 是信息論中的一個核心概念，針對量子算符進行定義 [19–21]。在該理論中 [17]，時空度規(guī)、幾何誘導度規(guī)以及物質(zhì)場均被視為量子算符，從而構(gòu)成一種雙度規(guī)引力理論 [22, 23]，其中度規(guī)被提升為量子算符。這種基于熵的量子引力方法導出了修正的愛因斯坦場方程，這些方程在弱耦合和低曲率極限下可還原為經(jīng)典廣義相對論 [17]。

近期關(guān)于熵量子引力中近似史瓦西解的研究指出，尺度遠大于普朗克長度的黑洞仍滿足熵的面積律 [24]。本文中，我們推導出熵量子引力對應(yīng)的弗里德曼（Friedmann）方程。這些方程在無需額外物質(zhì)場的情況下即允許暴脹解。暴脹是宇宙最初極短時間內(nèi)發(fā)生的指數(shù)級膨脹階段 [25]，可解決視界問題和平坦性問題，同時為原初密度擾動提供種子 [26–33]。這些擾動以溫度漲落的形式印刻在宇宙微波背景（CMB）上。這些漲落的近似尺度不變譜與標準暴脹模型的預言基本一致。

標準暴脹模型由一種假想的暴脹場（inflaton field）驅(qū)動 [34]。迄今為止唯一被觀測到的標量場是希格斯場 [35]。希格斯場與引力的最小耦合無法產(chǎn)生標準的慢滾解 [34]，而非最小耦合 [36] 則會導致不可重整的修正項 [37, 38] 和幺正性破壞。實現(xiàn)暴脹的另一種途徑是對引力進行修改，通常引入高階曲率修正項 [39–42]。所有標準暴脹模型都面臨精細調(diào)節(jié)問題以及無法給出唯一測度的問題 [25, 43]。盡管暴脹初始時處于勢能高位，但目前尚無初始條件理論能對此加以解釋。這一問題與暴脹所需的低熵初態(tài)相關(guān)，被稱為熵問題 [43, 44]。盡管暴脹模型極為成功，但將其與紫外（UV）完備理論相協(xié)調(diào)所面臨的理論挑戰(zhàn)，以及其預測能力的不足，促使物理學家尋求早期宇宙的替代理論，例如反彈宇宙模型 [45–51]。

熵量子引力中的FLRW解天然具有暴脹性質(zhì)，無需引入額外項或物質(zhì)場。引力源于量子算符的馮·諾依曼熵，使該模型具備紫外完備性并擁有堅實的理論動機。在熵量子引力中，暴脹除牛頓引力常數(shù) G 外不涉及任何額外參數(shù)。正如本文后續(xù)將看到的，暴脹既可以表現(xiàn)為低熵解，也可以表現(xiàn)為高熵解。高熵解對應(yīng)的哈勃參數(shù) H 滿足 √0.12 M_pl ? H < √(1/6) M_pl，預言張量標量比 0.010 ? r ? 0.012，CMB觀測量的譜指數(shù)為 0.962 ± 0.002。當 √0.08 M_pl ? H ? 0.11 M_pl 時，解表現(xiàn)出幻影（phantom）行為，此時慢滾參數(shù) ε 很小且為負值。

本文結(jié)構(gòu)如下：首先討論熵量子引力，并在無物質(zhì)場情況下給出類FLRW宇宙的運動方程；隨后幾節(jié)中，我們將求解運動方程，證明時空具有暴脹性質(zhì)；接著討論數(shù)值解及幻影行為出現(xiàn)的參數(shù)區(qū)域。

來自熵的引力——文獻 [17] 中提出的熵量子引力涉及一種拓撲度規(guī)，該拓撲度規(guī)由定義在四維流形上的標量、矢量和雙矢量之間的度規(guī)構(gòu)成，該四維流形完全由度規(guī) 所描述。該拓撲度規(guī)的形式為

由幾何在真空中誘導的度規(guī)被假設(shè)為 [17, 52]

方程（9）中的表達式是成立的，因為展平矩陣和里奇張量本身都是對角矩陣。由于展平矩陣和里奇張量均為對角矩陣，我們可以寫作：

修正的弗里德曼方程——假設(shè)時空為FLRW形式，則方程（12）可簡化為一對耦合的常微分方程，稱為修正的弗里德曼方程。熵引力的修正弗里德曼方程具有高度非線性，其形式如下：

圖（1）描繪了 ε 和 η 隨 e 倍數(shù)（e-folds）數(shù)量變化的函數(shù)關(guān)系。這些解屬于暴脹解，且處于慢滾區(qū)域之內(nèi)。假設(shè)慢滾參數(shù)與宇宙微波背景（CMB）觀測量 r 和 ns 之間的關(guān)系在熵引力中仍然成立，則 x ~ 0 的解被觀測結(jié)果所排除。觀測給出的張量標量比上限為 r ? 0.036，譜指數(shù)為 ns ~ 0.96 ± 0.0042 [53]。

對于更大的 x 值，方程（19）中的近似不再有效。然而，從附錄 III 中給出的 ε 的完整表達式可知，該方程允許在 x = 1/6 附近存在暴脹解。

圖（2）展示了在經(jīng)歷 50 個 e 倍膨脹后，不同 0 < x < 1/6 取值下的慢滾參數(shù) ε 和 η。從圖中可以清楚看出，當 0.08 < x ? 0.12 時，解表現(xiàn)出類似幻影（phantom-like）的行為；而當 0.12 ? x < 1/6 時，解仍為暴脹解。當 x > 1/6 時，作用量變?yōu)閺蛿?shù)，熵量子引力的方程也不再適用。

令人難以置信的是，當 0.12 ? x < 1/6 時，暴脹解產(chǎn)生的張量標量比遠低于觀測上限 r ? 0.036，且譜指數(shù)滿足 0.96 ? ns ? 0.964，與觀測結(jié)果一致。由于宇宙正經(jīng)歷慢滾暴脹，我們假設(shè)標準結(jié)果 r = 16ε 和 ns = 1 - 4ε + 2η 在熵量子引力中依然成立。

圖（3）是在假設(shè)經(jīng)歷 55 個 e 倍膨脹的前提下，針對 0.12 ? x < 1/6 區(qū)間繪制的張量標量比與譜指數(shù)的關(guān)系圖。ns 與 CMB 觀測結(jié)果相符，而張量標量比 0.000142 ? r ? 0.012 在實驗上可被 SO 或 CMB-S4 等實驗潛在檢驗。

r 的下限取決于暴脹的 e 倍數(shù)：若暴脹經(jīng)歷 60 個 e 倍，則 0.010 ? r ? 0.012，此時對應(yīng)的 ns 值落在觀測范圍內(nèi)。

將 ε 的方程在 x = 1/6 附近展開，我們得到：

我們尚未研究熵量子引力中的擾動，本分析基于背景解。在此背景下，本文所討論的關(guān)于CMB觀測量的結(jié)果需謹慎對待。要最終確定觀測量的數(shù)值，還需進一步分析，這將留待未來工作完成。

數(shù)值解——我們對 x ? 1 的情況數(shù)值求解方程（17）。在圖（4）中，我們給出了初始條件為 H(0) = 10?? 和 H′(0) = 3/16 × 10?? 時修正弗里德曼方程的數(shù)值解。第二個弗里德曼方程設(shè)定了導數(shù)的初始條件。如圖所示，哈勃參數(shù)最初增加，但很快趨于一個常數(shù)，并隨時間略有下降。參數(shù) ε 為正值、很小，且在幾個 e 倍膨脹后變?yōu)槌?shù)。

數(shù)值分析證實了我們關(guān)于慢滾暴脹的解析結(jié)果。然而，對于 x ~ 1/6 的情況，數(shù)值結(jié)果難以獲得，我們不得不依賴解析近似來得出結(jié)論。

熵導致的幻影行為——當 0.08 ? x ? 0.11 時，慢滾參數(shù) ε 為負值，表明狀態(tài)方程 w < -1，類似于幻影暗能量情景 [54]，或某些修改引力理論中的情形 [55, 56]。這一結(jié)果在新興觀測證據(jù)（如 DESI 和 Planck 數(shù)據(jù)集）的背景下頗具意義，這些證據(jù)暗示早期宇宙偏離標準暗能量范式 [57]。該解的幻影行為可能對早期暗能量具有啟示意義。為簡潔起見，我們將其留待未來工作探討。負的 ε 也意味著違反零能量條件，盡管由于場方程中存在非正則動能項，這并不令人意外。

早期宇宙的熵——熵量子引力的作用量本身可自然地導向一種類似玻爾茲曼熵的信息論解釋。該理論的拉格朗日量為

其中，W(r) “計數(shù)”（一般而言，此處定義的 W(r) 是實數(shù)，不一定是整數(shù)）幾何的自由度數(shù)目 [24]。對于包含 n 個宏觀子系統(tǒng)的系統(tǒng)，玻爾茲曼熵為 S = Σ???? log(W?)，其中 W? 是第 i 個子系統(tǒng)的微觀構(gòu)型數(shù)目。類似地，在熵量子引力中，我們有

因此，量子相對熵計量了度規(guī)的自由度數(shù)目。對于FLRW宇宙，熵由尺度因子 a(t)和空間體積 V決定。對于前幾節(jié)所討論的慢滾近似范圍內(nèi)的解，

結(jié)論與討論：本工作在熵量子引力的框架下推導并求解了修正的弗里德曼方程，其中引力源于時空度規(guī)與幾何-物質(zhì)誘導度規(guī)之間的量子相對熵。指數(shù)膨脹是該理論固有的性質(zhì)，無需引入額外的標量場或其他奇異物質(zhì)場。該框架為暴脹階段提供了紫外完備的起源，且僅需極少量參數(shù)。我們的分析識別出一個高熵暴脹分支（0.12 < x = GH2 < 1/6），其預言張量標量比滿足 0.000142 ? r ? 0.012，譜指數(shù)滿足 0.962 ? n? ? 0.964，與當前CMB觀測約束一致；同時還存在一個幻影類分支（0.08 ? x ? 0.11），對應(yīng)狀態(tài)方程 w < -1，并違反零能量條件，可能與早期暗能量情景相關(guān)。

熵的詮釋表明，暴脹分支對應(yīng)的幾何自由度數(shù)目高于幻影類解。能量條件的違反暗示在此框架內(nèi)可能存在反彈或循環(huán)宇宙學模型。要最終確定CMB和引力波（GW）觀測量的預言，尚需系統(tǒng)性地研究標量和張量擾動?？傮w而言，結(jié)果表明，暴脹及早期宇宙的奇異行為均可純粹從熵引力中自然涌現(xiàn)，從而為標量場驅(qū)動的暴脹提供了一種具有預測能力且理論動機充分的替代方案，值得進一步深入研究。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2509.23987