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現(xiàn)代人工智能AI工具，例如神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機，擅長識別模式并橫跨復雜數(shù)據(jù)集進行預測。本文將通過具體案例，展示人工智能如何融入數(shù)學家和物理學家的日常研究活動，并著重于實際的現(xiàn)實世界應用，而非對該領域的泛泛概述。

我們將首先探討一些人工智能如何推動幾何、代數(shù)和數(shù)論發(fā)展的例子，然后探討卡拉比-丘流形的具體情況。最后，我們鼓勵讀者將ChatGPT視為一個啟迪靈感的繆斯女神，即使它目前只是一個功能相當有限的通用問題解決工具。

作者：Laura P. Schaposnik

Maximilian J. Telford

Yang-Hui He（何楊輝）

Lara B. Anderson

Steve Bradlow

2025-4

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2025-4-18

1、人工智能如何重塑日常研究

作者：

Laura P. Schaposnik

伊利諾伊大學芝加哥分校的數(shù)學教授

Maximilian J. Telford

倫敦大學學院喬德雷爾動物學和比較解剖學教授

1953年，羅爾德·達爾（Roald Dahl）創(chuàng)作了《偉大的自動語法化器》（The Great Automatic Grammatizator）。故事講述了一臺機器開始以驚人的技巧和速度大量創(chuàng)作小說，其速度之快，甚至威脅到人類創(chuàng)造力的光芒。

這臺由一位年輕工程師創(chuàng)造的“語法化器”堪稱機械奇跡，它學會了按照嚴格的語法和風格規(guī)則創(chuàng)作故事，直到最終變得與真實作家的作品難以區(qū)分。

最初令人好奇之物很快演變成顛覆性的力量，引發(fā)了關于人類創(chuàng)造力本質(zhì)的令人不安的問題。大約十年后，即1965年，斯坦尼斯瓦夫·萊姆（Stanis?aw Lem）出版了《賽博詩集》（The Cyberiad），其中特魯爾的“電子詩人”能夠根據(jù)簡單的提示自動創(chuàng)作詩歌：經(jīng)過一些訓練后，特魯爾會提出以下要求：

給我來首情詩吧，抒情的、田園的、用純數(shù)學的語言來表達。主要用張量代數(shù)，必要時可以加一點拓撲和高等微積分。但你懂的，它充滿情感，并且蘊含著控制論的精神。

他很快收到了一首數(shù)學詩：

來吧，讓我們趕往高階平面，其中二元組踏上了維恩的仙境，它們的指數(shù)從1到n，混合在無盡的馬爾可夫鏈中！

雖然達爾和萊姆的故事是對自動化的荒誕批判，但在我們今天努力理解人工智能在傳統(tǒng)人類領域中的角色時，它們卻有著驚人的現(xiàn)實意義。今天，秉承萊姆精神，ChatGPT溫和地回應了上述問題：

哦，讓我們的拓撲結構，在緊空間里交織，神圣的愛。莫比烏斯之吻，克萊因瓶的色彩，于真愛之處，界限消失。

OpenAI發(fā)布ChatGPT的公開版本后不久，達爾的“偉大的自動語法化器”（Great Automatic Grammatizator）及其現(xiàn)代（非虛構）版本就成了牛津大學萬靈學院研究員們著迷的話題——作家和研究人員會不會很快被淘汰？生命的起源會在我們有任何新發(fā)現(xiàn)之前就被理解嗎？

ChatGPT以其最具達爾式的散文寫作風格，很快便進入了我們的學術界。最初，它以學生論文的形式出現(xiàn)——有一些寫得不好的論文，完全依賴于這項技術來處理內(nèi)容和結構；但也有一些更令人鼓舞的優(yōu)秀作品，這些作品是人工智能用來潤色和幫助非英語母語的學生完成的。

人工智能對教育的影響讓我們得以一窺其潛力，而其在科學研究中的應用則揭示了人機合作的更多可能性。2024年，諾貝爾物理學獎和化學獎的頒發(fā)，標志著人工智能對科學的廣泛影響得到了認可。

物理學獎授予約翰·霍普菲爾德（John Hopfield）和杰弗里·辛頓（Geoffrey Hinton），以表彰他們“在利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡進行機器學習方面做出的基礎性發(fā)現(xiàn)和發(fā)明”。

化學獎的一半獎項授予了德米斯·哈薩比斯（Demis Hassabis）和約翰·江珀（John Jumper），以表彰他們“對蛋白質(zhì)結構預測的貢獻”。這句簡短的話不足以描述這對搭檔開發(fā)名為AlphaFold2的人工智能模型的工作。

AlphaFold2使計算機能力實現(xiàn)了非凡的飛躍，使其能夠利用構成蛋白質(zhì)的二十種不同氨基酸的線性序列來預測數(shù)億種蛋白質(zhì)復雜的三維結構。

與生物學家和化學家一樣，物理學家和數(shù)學家并沒有因擔心人工智能的潛在濫用而卻步，許多不同科學分支的從業(yè)者現(xiàn)在正專注于人工智能在不久的將來可能以多種有益的方式幫助我們的領域取得進步。

事實上，不同于達爾的嚴格遵循編程語法規(guī)則的自動機，當今的人工智能模型遠不止于單純的模仿。它們不再局限于預先定義的模式：它們開始產(chǎn)生洞察力，提出新的研究方向，在某些情況下，甚至在數(shù)學和物理等領域超越人類的直覺。

如今，ChatGPT公開發(fā)布已兩周年，我們將探討人工智能如何成為寶貴的研究伙伴，并在某些情況下超越人類能力極限的一些亮點。無論是幫助研究人員探索?？臻g的高維拓撲結構，優(yōu)化卡拉比-丘（CY）流形的復雜幾何結構，還是發(fā)現(xiàn)代數(shù)結構中的新模式，人工智能正在從根本上重塑數(shù)學和物理探索的過程。

現(xiàn)代人工智能工具，例如神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機，擅長識別模式并橫跨復雜數(shù)據(jù)集進行預測。本文將通過具體案例，展示人工智能如何融入數(shù)學家和物理學家的日常研究活動，并著重于實際的現(xiàn)實世界應用，而非對該領域的泛泛概述。

我們將首先探討一些人工智能如何推動幾何、代數(shù)和數(shù)論發(fā)展的例子，然后探討卡拉比-丘流形的具體情況。最后，我們鼓勵讀者將ChatGPT視為一個啟迪靈感的繆斯女神，即使它目前只是一個功能相當有限的通用問題解決工具。

2、人工智能驅動的發(fā)現(xiàn)

作者：

何楊輝（Yang-Hui He）

英國皇家學會倫敦數(shù)學科學研究所研究員和教授

二十世紀，純數(shù)學領域的重要成果——例如四色定理和開普勒猜想的證明——都是通過將工作簡化為對大量案例的計算機驗證而獲得的。如今，在本世紀的前二十年，人類活動已經(jīng)發(fā)生了范式轉變，開始依賴人工智能。這源于兩個決定性因素：

(1) 數(shù)據(jù)：互聯(lián)網(wǎng)使幾乎所有的人類知識都觸手可及。

(2) 計算：CPU和GPU的巨大改進使得每臺筆記本電腦都成為了曾經(jīng)的超級計算機。

數(shù)學的新時代

在經(jīng)驗科學中，人工智能，尤其是機器學習（ML）方法，已迅速成為研究不可或缺的組成部分。例如，如果沒有通過篩選數(shù)據(jù)進行ML檢測，歐洲核子研究中心（CERN）就不可能發(fā)現(xiàn)希格斯粒子。

雖然這在實驗中很明顯，但直到2017年，人們才難以想象人工智能在純數(shù)學和理論物理中的作用，當時ML被用于尋找代數(shù)幾何中的新模式，以探索弦理論的前景【He17】。

在過去的七年里，一系列的活動導致了這一新興“數(shù)學人工智能”領域的數(shù)百篇論文，其中包括一些導致新數(shù)學的突破【DVB?21】【HLOP22】（有關這些主題的評論，請參閱【GHR24】【He24】）。

事實上，隨著機器學習在數(shù)學推理和形式推導方面的快速發(fā)展，尤其是像DeepMind這樣的公司使用大語言模型（LLM）解決數(shù)學奧林匹克問題并取得銀牌水平，難怪一些知名數(shù)學家紛紛在重要演講中（例如在ICM上）強調(diào)“數(shù)學的未來”在很大程度上依賴于證明助手和人工智能（參閱）。

在【He24】中，我們列舉了上文提到的三種人工智能助力數(shù)學的方式：(1) 自下而上，即形式化和證明副駕駛；(2) 元方式，即數(shù)學的LLM；以及(3) 自上而下，即人工智能引導的猜想和直覺。接下來，我們將描述(3) 中的一些實例，其中人工智能已經(jīng)卓有成效，并通過具體的研究文章來說明這些進展。

學習代數(shù)結構：

有人可能會好奇機器學習（ML）學習代數(shù)結構的能力如何，這正是我們在【HK19】中考慮的問題。具體來說，我們考慮了前100個大小為n的有限群的凱萊（乘法）表，即每一個都是n×n拉丁方陣，其中每行和每列嚴格為數(shù)字1到n的一種排列。

然后我們用0填充到右下角，這樣我們就得到了一個100×100值為[0,n]的整數(shù)矩陣序列。接下來，根據(jù)相關有限群是否為單群，將矩陣標記為1或0?，F(xiàn)在，非單群將占據(jù)主導地位；因此，我們還加入了凱萊表的置換，給出了一個群的等價表示，權重偏向單群。

總而言之，我們這樣就建立了一個平衡的（0和1的數(shù)量大致相等）集合，例如50000個帶標記矩陣。如果通過平面化每個向量化的矩陣，將它們繪制在一個1002維歐氏空間中【腳注1】，一件奇怪的事情發(fā)生了：支持向量機（SVM）在單群和非單群之間找到了一個分離超曲面！

這在后來使用生成器表示和神經(jīng)網(wǎng)絡（NN）時得到了進一步的證實。這個原型猜想純粹是由人工智能發(fā)現(xiàn)的（目前無法可視化1002維）——因為需要更精確地表述它，所以稱為原型——并且可以在表示論中提供一種新穎的方法。

【腳注1】對每個矩陣進行向量化（將其從網(wǎng)格狀結構轉換為線性數(shù)組）可以使機器學習算法有效地處理數(shù)據(jù)。

“椋鳥群飛”猜想：

很難想象人工智能算法能夠直接在素數(shù)中發(fā)現(xiàn)任何新的模式，但經(jīng)過一些初步實驗后，在【HLOP22】中進行了以下富有成果的實驗。給定一個橢圓曲線E（的同源類），確定一個數(shù)字n（例如100）。對于素數(shù)p = p?, … , pn，考慮歐拉系數(shù)向量ap（回想一下ap = p + 1 - #E(p)，即E在有限域p上的點的#E(p)數(shù)的偏差）。

研究發(fā)現(xiàn)，所有標準神經(jīng)分類器都能夠學習使用向量ap預測E的秩的準確率幾乎達到100%。雖然人們知道BSD（Birch-Swinnerton-Dyer）猜想在本質(zhì)上是可行的，但不知道如何明確地從ap得到秩。

對PCA（主成分分析）的解釋最終引發(fā)了一個猜想：在具有導子（conductor）值域[2?, 2??1]的給定秩為r的橢圓曲線集合C上的ap系數(shù)均值【HLOP22】，是第n個素數(shù)的函數(shù)：f?(n):= 1/|C| ∑_{E∈C} apn(E)；這個f(n)以精確的方式振蕩并收斂到一個定義良好的形狀，預計對所有L-函數(shù)都成立。

這個“椋鳥群飛猜想”反映了素數(shù)分布的一個根本偏差。（參閱小樂數(shù)學科普：事關BSD猜想，AI人工智能發(fā)現(xiàn)橢圓曲線的“椋鳥群飛murmuration”現(xiàn)象——譯自量子雜志 https://mp.weixin.qq.com/s/Tq4KFqkscqKF0ArGf1gV5g )

Birch（伯奇）測試：

ChatGPT于2023年通過了圖靈測試。設計一個更為嚴格的數(shù)學人工智能測試是明智之舉，它被稱為Birch測試。人工智能輔助的數(shù)學發(fā)現(xiàn)必須滿足以下條件：

(A) 自動化（Automaticity）

它完全由人工智能從模式識別開始，無需任何人工干預。

(I) 可解釋性（Interpretability）

任何命題——猜想或結論——對于人類數(shù)學家來說都必須是精確的。人類數(shù)學家無法將其與人類同事給出的命題區(qū)分開來。

(N) 非平凡性（Nontriviality）

這個問題并不簡單，需要人類專家群體來研究。

盡管過去七年人工智能輔助數(shù)學取得了長足進步，但Birch測試仍然過于嚴格，迄今為止尚無AI能夠通過全部三個部分測試。

【He17】的幾何實驗受困于深度神經(jīng)網(wǎng)絡（DNN）的典型問題：無法提取可解釋的公式。因此，它們未能通過Birch測試(I)。同樣，【HK19】也不夠精確，也未能通過Birch測試(I)。

顯著性分析【DVB21】發(fā)現(xiàn)的紐結不變關系，以及針對復雜紐結的Reidemeister移動【GHR24】，雖然新穎、有趣且精確，但它們要么很容易被證明，要么在該領域尚未產(chǎn)生足夠的影響力；因此它們未能通過Birch測試(N)。

椋鳥群飛猜想【HLOP22】通過了(I)，并且首次通過了(N)。然而，該發(fā)現(xiàn)對測試(A)失敗，因為人類數(shù)學家通過選擇研究PCA的權重矩陣介入了這一過程。

盡管如此，我們樂觀地認為，Birch測試將在不久的將來會被全面通過。無論如何，不可否認的是，人工智能正在開始并將繼續(xù)與人類數(shù)學家合作，發(fā)揮關鍵作用。毫無疑問，對于下一代數(shù)學學生來說，機器學習，甚至Python編程，將與統(tǒng)計學一起成為本科核心課程的一部分。

3、卡拉比-丘度量的機器學習

作者：

Lara B. Anderson

弗吉尼亞理工大學粒子理論小組的物理學副教授，同時也是數(shù)學系的兼職教授

在過去的四十年中，卡拉比-丘（CY）流形（Calabi-Yau manifold）的幾何學在微分幾何、代數(shù)幾何以及弦理論物理的諸多進展中發(fā)揮了關鍵作用。

盡管歷史悠久，但這兩個領域仍然存在著重大挑戰(zhàn)和懸而未決的問題。特別是，雖然丘成桐定理保證了此類流形中存在Ricci平坦度量，但這些度量的顯式解析表達式仍然難以捉摸。

最近，機器學習（ML）已成為一種用于逼近卡拉比-丘度量的有前途的工具，在社區(qū)中引發(fā)了極大的關注，人們開始思考現(xiàn)在可能存在哪些問題（以及答案）。

我將在下文中嘗試重點介紹這些想法（更多詳細信息請參閱【AGG?21】及其參考文獻，評論請參閱【AGL2312】）。

在弦理論中，底層物理理論的表述方式超過我們在宇宙中觀察到的時空3+1維度。取而代之的是，弦理論可以表述為，例如10維形式?1?3×X的時空，其中X是一個6-(實數(shù))維緊流形。

如果X中的體積/長度按比例縮放得足夠小，這可能與物理觀察相一致。這被稱為“弦緊化”（string compactification）。結果是，任何出現(xiàn)的4維物理都依賴于X，緊的額外維度的性質(zhì)，特別是該空間中由度量編碼的長度概念。

這個過程幾乎影響了4-維理論不僅包括引力物理學，還包括粒子的質(zhì)量及其相互作用的強度。為了判斷這些理論是否與粒子物理學和宇宙學中的觀測結果相符，度量起著至關重要的作用。

圖1 卡拉比-丘流形（CY流形）

一個六維卡拉比-丘流形的三維投影。該卡丘（CY）流形是五次超曲面，定義為在???中的∑_{i=0}^4 z_i^5=0

滿足弦理論運動方程的緊空間的一個簡單例子是所謂的卡拉比-丘流形【Yau78】【Yau85】。一個卡拉比-丘流形是一個緊復流形，其第一陳示性類為零（即[tr(R)]=0，其中R是里奇曲率Ricci curvature），其度量可以簡單地用稱為凱勒勢（K?hler potential）函數(shù)K的兩個導數(shù)來定義。

通過丘成桐定理，我們可以知道，對于任何凱勒類[J]中第一陳類為0的一個n-維緊復凱勒流形X，具有獨特的Ricci平坦凱勒度量。

此外，非平凡的（即排除n-環(huán)面）卡丘流形沒有連續(xù)的等距同構，這意味著在寫出度量時沒有可用的指導性的對稱性。因此，盡管丘成桐定理保證了度量的存在，但對于n>1目前尚無該度量的解析表達式。

然而，還有另一種方法可以解決這個問題（這種方法在丘成桐證明上述定理時也發(fā)揮了作用），這種方法比直接求解曲率條件更簡單，而且這是X上特殊微分形式出現(xiàn)的Monge-Ampere（蒙日-安培）型條件。

除了凱勒形式之外，對于一些光滑的零形式?，還可以定義相關聯(lián)的凱勒類 JCY=J+????。最后，一個CY流形產(chǎn)生唯一的全純(3,0)-形式Ω。

相關的蒙日-安培（Monge-Ampere）方程源于以下觀察：X上的體積（頂部）(3,3)-形式本質(zhì)上是唯一的，因此，以下表達式必須成立：

（1）JCY ? JCY ? JCY=κΩ ?Ω?

其中κ是一個常數(shù)。多年來，這個條件一直是數(shù)值逼近CY度量的核心。其大致思路是，如果可以在CY流形上生成點，并直接計算Ω，然后可以嘗試對?求解二階Monge-Ampere方程。

（1）中的條件還提供了一個誤差度量，用于測量任何度量（與CY度量屬于同一凱勒類）與Ricci平坦度量之間的距離。多年來，文獻中已經(jīng)進行了大量的嘗試，試圖通過代數(shù)K?hler勢的近似類來解決這個問題，使用的技術多種多樣，包括使用由 Donaldson【Don09】開發(fā)的所謂平衡的度量并且已證明收斂的限制方案，以及基于函數(shù)最小化的方法【HN13】。

雖然使用這些方法已經(jīng)獲得了結果，但事實證明，它們的計算成本很高，并且不能推廣到?？臻g中的一般點。（CY流形具有一個保持 Ricci平坦度的度量波動δg的?？臻g。這些波動包括體積變化的凱勒形變和“形狀變化”的復結構形變。）

展望未來

機器學習（ML）算法提供了一種新穎的方法來解決這個問題，它使用監(jiān)督學習或直接學習。具體來說，可以使用梯度下降法直接最小化基于蒙日-安培約束的損失函數(shù)。對于任何數(shù)值方法，我們都必須問：“我們的近似值是否‘足夠好’？” 答案當然取決于我們下一步想做什么。

就弦理論中CY度量的應用而言，有許多令人興奮的途徑可供探索，其中一些已經(jīng)實現(xiàn)。這些途徑包括研究CY背景下的規(guī)范理論（gauge theories），包括用數(shù)值/機器學習方法求解厄米特-楊-米爾斯（Hermitian Yang-Mills）方程或子簇上希格斯叢的希欽方程（如下一節(jié)所述），以及求解叢扭曲狄拉克方程（bundle-twisted Dirac equations）。此外，觀察這些工具是否有助于幾何探索，包括鏡像對稱和特殊拉格朗日循環(huán)的研究，也同樣有趣。

物理學的一個重要進展是計算基于弦緊化理論的四維規(guī)范理論中粒子的質(zhì)量和耦合。最近，一項激動人心的進展剛剛完成，首次使用機器學習工具【BMPT?241】【CFTH?242】直接計算了CY弦緊化的夸克的質(zhì)量。雖然該背景下的物理學尚無法與自然界中觀察到的粒子物理學相媲美，但能夠計算質(zhì)量/耦合仍然是一項顯著的進步。

上述結果僅僅是在此背景下運用新機器學習工具的第一步。接下來，我們拭目以待，看看未來還能解決哪些問題。

4、一個簡短的ChatGPT冒險

作者：

Steve Bradlow

伊利諾伊大學香檳分校數(shù)學教授

最終，ChatGPT并沒有為我們的項目做出重大貢獻，但它給了我們繼續(xù)前進的信心，這帶來了巨大的變化。

受AI影響的項目目標是區(qū)別并計算所有被稱為希格斯叢?？臻g（moduli spaces of Higgs bundles）的對象的組成部分，即連通分量。對于每一對(G,Σ)，其中G是李群，Σ是黎曼曲面，有一個這樣的?？臻g，記為?(G,Σ)。

空間?(G,Σ)是高維復解析簇，具有許多有趣的特性。具體而言，這些空間可能具有多個連通分量，其中一些可以歸因于群的拓撲結構G或曲面Σ，但其他的李群的起源則更加神秘，在許多情況下，其確切的組成部分數(shù)量仍然未知，特別是對于特殊的單李群F?, E?, E?和E?。

2023年春當我們五個人（Steve Bradlow、Brian Collier、Oscar Garcia-Prada、Peter Gothen、Andre Oliveira）在馬德里聚會時，這些群的希格斯叢的?？臻g就是我們的目標。對于這些（以及某些其他）實李群，我們最近確定了?(G,Σ)空間中的一類特殊分量與它們的李代數(shù)（我們稱之為神奇的SL?三元組，不過那是另一個故事了）的一個特征有關。

我們在馬德里的目標是證明這些希格斯叢?？臻g沒有其他“意外”的連通分量，也就是說，證明已知分量提供了完整的計數(shù)。

我們攻克這一目標的主要武器是實值Morse莫爾斯函數(shù)，該函數(shù)由奈杰爾·希欽（Nigel Hitchin，1946 -）于1987年在其里程碑式的論文中提出，其中首次引入了希格斯叢（Higgs bundles）。經(jīng)典莫爾斯理論的完整條件并不適用于此，但希欽函數(shù)至少是一個真映射，因此在所有連通分量上都達到局部最小值。

我們之前已經(jīng)確定了來自神奇的SL?-三元組，但仍然有可能存在其他局部最小值，從而存在其他連通分量。任何進一步的、尚未發(fā)現(xiàn)的局部最小值要么位于?？臻g的光滑軌跡上，要么可能位于奇異點上。我們推測所有連通分量都已考慮在內(nèi)，因此任務是排除任何此類臨界點的存在。

Hitchin函數(shù)成為Morse函數(shù)的必要條件確實適用于?(G,Σ)，這意味著可以通過檢查函數(shù)在臨界點處的Hessian矩陣的指標來檢測函數(shù)的局部最小值。更準確地說，這些條件相當于對該李代數(shù)的某個?-分級的分片維數(shù)條件。這是個好消息！

一個李代數(shù)（Lie algebra）是一個有限維向量空間，具有代數(shù)的可加性，其中代數(shù)可以用一組向量（稱為對偶向量空間中的根）完整而優(yōu)雅地描述。

這些根系可以用Dynkin圖進行分類，而決定李代數(shù)的關鍵代數(shù)關系可以用一個由正單根構成的子集的偏序集圖（poset diagram）來封裝。有了這些數(shù)據(jù)，原則上就可以檢查所有可能的?-分級，從而尋找那些可能滿足Hitchin函數(shù)局部最小值條件的等級。

在實踐中，假設李代數(shù)F?, E?, E?和E?分別是維度為52、78、133和248的復向量空間，所需的搜索不可能手動完成。這正是計算機的用武之地！然而我們的問題是，我們的編程技能要么完全沒有，要么——充其量——已經(jīng)過時了。

在2022年11月30日之前，這個障礙很可能會扼殺我們的項目，或者至少會讓它停滯不前，直到我們中的一個人鼓起勇氣學習Python編程的基礎知識。但2022年11月30日，ChatGPT 3發(fā)布了，所以當我們在2023年5月聚在一起時，我們可以說：“讓我們把這個問題交給ChatGPT來解決吧?！?/p>

我們不知道這實際上會如何實現(xiàn)，但我們讀過很多關于ChatGPT 3強大功能的文章。我們現(xiàn)在的目標是讓ChatGPT 3編寫一個Python程序，來實現(xiàn)我們對異常的復單李代數(shù)?-等級進行搜索。

我們的第一步是編寫一個用于執(zhí)行搜索的算法的通俗易懂的語言描述，即生成程序的偽代碼。ChatGPT 3在其自身版本經(jīng)過適當打磨的偽代碼的支持下，幾乎立即生成了我們需要的Python程序。在一位性格寬容的千禧一代程序員（也就是我的兒子亨利）耐心地提供了一些基本提示后，我們可以輕松地在筆記本電腦上實現(xiàn)該程序。幾天之內(nèi)，我們探索了所有異常的實數(shù)形式，并確認Hitchin函數(shù)在相應?？臻g的光滑軌跡上沒有意外的局部最小值。

最終的Python程序非常簡單，代碼不超過五十行，針對目標案例的運行時間以分鐘為單位?；叵肫饋恚莆账璧淖詣踊阉鞴ぞ邞摬怀鑫覀兊哪芰Ψ秶?。即使沒有像ChatGPT這樣的大語言模型的幫助，我們也完全能夠完成這項工作。

我們面臨的障礙主要是心理上的——缺乏經(jīng)驗導致的恐懼，以及（必須承認）一定程度的思維惰性。幸運的是，ChatGPT給予我們的足以幫助我們克服這些障礙，從這個意義上來說，它至關重要。

盡管我們在ChatGPT的推動下取得了成功，但我們的自動搜索并未完全證明我們關于分量數(shù)量的猜想——它留下了在?？臻g的光滑軌跡之外存在局部最小值的可能性——但這已朝著這個方向邁出了一大步。最后一步需要仔細（略顯繁瑣）地分析模空間中的非光滑點。我們滿懷希望，ChatGPT 4能夠鋪平道路！

原文參考文獻

Article DOI: 10.1090/noti3159

【AGG?21】

Lara B. Anderson, Mathis Gerdes, James Gray, Sven Krippendorf, Nikhil Raghuram, and Fabian Ruehle, Moduli-dependent Calabi-Yau and SU(3)-structure metrics from machine learning, J. High Energy Phys. 5 (2021), Paper No. 013, 44, DOI 10.1007/jhep05(2021)013. MR4301790

【AGL2312】

Lara B. Anderson, James Gray, and Magdalena Larfors, Lectures on numerical and machine learning methods for approximating Ricci-flat Calabi-Yau metrics, 202312.

【BMPT?241】

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【CFTH?242】

Andrei Constantin, Cristofero S. Fraser-Taliente, Thomas R. Harvey, Andre Lukas, and Burt Ovrut, Computation of quark masses from string theory (20242), available at https://arxiv.org/abs/2402.01615

【Don09】

S. K. Donaldson, Some numerical results in complex differential geometry, Pure Appl. Math. Q. 5 (2009), no. 2, Special Issue: In honor of Friedrich Hirzebruch, 571–618, DOI 10.4310/PAMQ.2009.v5.n2.a2. MR2508897

【DVB?21】

Alex Davies, Petar Velickovic, Lars Buesing, et al., Advancing mathematics by guiding human intuition with AI, Nature 600 (2021), no. 7887, 70–74.

【GHR24】

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【He17】

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參考資料

https://www.ams.org/journals/notices/202505/noti3159/noti3159.html

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