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海曼·巴斯 （Hyman Bass，1932 -）

海曼·巴斯（Hyman Bass）教授，是一位在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出開創(chuàng)性貢獻（代數(shù)K理論的奠基人，研究交換同調(diào)代數(shù)和投射模，他也是樹上的群作用理論的共同創(chuàng)始人），并在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域發(fā)揮重要領(lǐng)導(dǎo)作用的杰出數(shù)學(xué)家（擔(dān)任AMS美國數(shù)學(xué)會主席和國際數(shù)學(xué)教學(xué)委員會主席），他的工作極大地豐富了我們對代數(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的理解。

他是美國國家科學(xué)院、美國藝術(shù)與科學(xué)院、世界科學(xué)院的院士。曾獲得科爾代數(shù)獎、美國國家科學(xué)獎?wù)隆１疚氖荓isa Carbone和Yvonne Lai對其采訪內(nèi)容，內(nèi)容較長，分為上下篇。

作者：Lisa Carbone（羅格斯大學(xué)數(shù)學(xué)教授）

Yvonne Lai（內(nèi)布拉斯加大學(xué)林肯分校數(shù)學(xué)教授）

2025-2-13

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-6-23

我和Yvonne Lai有幸采訪了我的博士生導(dǎo)師海曼·巴斯（Hyman Bass），了解他七十年來非凡而充滿活力的數(shù)學(xué)生涯。

海曼的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域是代數(shù)及其與代數(shù)幾何、數(shù)論、拓撲學(xué)和幾何群論的關(guān)系。他于2012年成為美國數(shù)學(xué)會首屆會士。2007年7月，他榮獲喬治·W·布什總統(tǒng)頒發(fā)的美國國家科學(xué)獎?wù)隆?/p>

1990年代，海曼開始研究數(shù)學(xué)知識在教學(xué)中的應(yīng)用。他的教育研究目前涵蓋學(xué)校數(shù)學(xué)中的推理與證明、課程材料的分析、不同情境下的數(shù)學(xué)與教學(xué)實踐特征描述，以及以連接為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)思維。

海曼已培養(yǎng)出25名數(shù)學(xué)博士生，174名數(shù)學(xué)后裔，3名數(shù)學(xué)教育博士生。

他曾當(dāng)選美國國家科學(xué)院院士、美國藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院院士、美國國家教育學(xué)院院士、第三世界科學(xué)院院士，同時也是美國科學(xué)促進會會士。

他的數(shù)學(xué)著作以其系統(tǒng)的優(yōu)美性而聞名。他憑借《代數(shù)K理論》一書榮獲哥倫比亞大學(xué)范阿姆林格獎（Van Amringe Prize），并憑借發(fā)表于1973年《施普林格數(shù)學(xué)講義》第343卷的《酉代數(shù)K理論》榮獲美國數(shù)學(xué)會（AMS）弗蘭克·納爾遜·科爾代數(shù)獎（Frank Nelson Cole Prize in Algebra）。他的論文《數(shù)學(xué)與教學(xué)》（AMS 通告，2015年）被選入普林斯頓大學(xué)出版社出版的《2016年最佳數(shù)學(xué)著作》 [Pitici2017]。

他長期為數(shù)學(xué)教育事業(yè)做出杰出貢獻。他曾于1980 - 1981年擔(dān)任美國數(shù)學(xué)會（AMS）副主席，于2001 - 2003年擔(dān)任美國數(shù)學(xué)會主席，并于1998 - 2006年擔(dān)任國際數(shù)學(xué)教學(xué)委員會主席。2013年，他榮獲美國數(shù)學(xué)協(xié)會（MAA）頒發(fā)的“瑪麗·P·多爾恰尼獎”（Mary P. Dolciani Award），以表彰其對K-16學(xué)生數(shù)學(xué)教育的杰出貢獻；2006年，他榮獲美國數(shù)學(xué)協(xié)會（MAA）頒發(fā)的杰出數(shù)學(xué)服務(wù)獎（Yueh-Gin Gung and Dr. Charles Y. Hu Award），以表彰其對數(shù)學(xué)的杰出貢獻。1995年至2000年，他擔(dān)任美國數(shù)學(xué)會（AMS）教育委員會主席。

致謝

我們感謝研究生Em Stephen，在內(nèi)布拉斯加大學(xué)林肯分校代數(shù)系（尤其是 Mark E. Walker）的支持下，他投入了大量時間將Zoom文字記錄整理成流暢的自然語言。我們還要感謝TY Lam對最終稿件的仔細審閱，以及Isaac Bass閱讀稿件并提供個人及家庭背景照片。

11930年代至1959年：成為數(shù)學(xué)家

在二戰(zhàn)中

采訪者：您出生時正值第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)。這對您有何影響？

巴斯：我在八個孩子中排行第七。我的家庭活躍、充滿活力、溫暖。

這就是我童年時期的世界。我第一次意識到更廣闊的世界的意識記憶，是在二戰(zhàn)期間。

圖1： 海曼的父親（阿斯里爾·巴沙凱維茨 Asriel Bashakevitz，在美國英語中名為伊薩多·巴斯 Isadore Bass）在俄羅斯軍隊服役，大約在1905年，立陶宛維爾紐斯。

我的父親1911年從立陶宛移民后，為一位在休斯頓擁有猶太肉店的叔叔工作。

后來我父親接手了這項業(yè)務(wù)，并進入了肉類批發(fā)行業(yè)，為休斯頓周圍的雜貨店和其他市場供貨。

圖2： 海曼的父母范妮·魏斯博德 (Fanny Weissbord) 和伊薩多·巴斯 (Isadore Bass) 的結(jié)婚紀(jì)念日，1917年，德克薩斯州休斯頓。

海曼的母親弗魯姆（范妮）·韋斯博德 Frume (Fanny) Weissbord于1910年從白俄羅斯移民。

我確信我父親一直盼望著養(yǎng)育兒子，幫他干這件體力活兒。后來，他和我母親很快就生了四個女兒。最后，四個兒子出生時，二戰(zhàn)爆發(fā)了。

我的兩個哥哥都去參加海軍了。我的姐姐們?nèi)チ巳A盛頓。其中一個加入了女子陸軍部隊，并在諾曼底登陸后不久，前往法國服役。

小學(xué)的時候，我父親沒有哥哥們幫忙，所以我會在中午左右放學(xué)去幫他上卡車送貨。就這樣，我的第一次工作經(jīng)歷就是把肉運到市場秤上稱重。我早期對“現(xiàn)實世界”的了解，就是用皮卡車運送肉，以及在一家宰殺、處理、裝進冷藏箱的牛肉加工廠工作。

裝卸碼頭上的同伴大多是非裔美國人，他們叫我“小巴斯”。我記得我和兩個兄弟成了好朋友。我一直對他們的名字很感興趣：拿破侖·吉布森和尤利西斯·吉布森。我花了一段時間才理解這兩個名字的含義。

我的哥哥曼努埃爾（Manuel，我們在家里叫他曼吉 Mangie）在海軍軍官訓(xùn)練團，主要從事工程學(xué)方面的工作。通過這個訓(xùn)練團，他學(xué)到了很多科學(xué)知識。這為我對科學(xué)的興趣埋下了一顆種子。

和我所有的兄弟姐妹一樣，他很聰明。他對世界充滿好奇，對學(xué)習(xí)充滿熱情，渴望分享他學(xué)到的一切。休假回家時，他會教我和弟弟艾薩克（Isaac）他正在學(xué)習(xí)的科學(xué)知識。這為我對科學(xué)的興趣埋下了一顆種子。我甚至還做過一個項目，可能是為西屋公司（Westinghouse）做的，研究果蠅（drosophila melanogaster） 。這可能也部分受到了我哥哥的影響。但最終，它并沒有像數(shù)學(xué)那樣深入我心。

戰(zhàn)后和人造衛(wèi)星時代成為一名代數(shù)學(xué)家

采訪者：您從幾歲起就知道自己對數(shù)學(xué)十分熱衷？

巴斯：直到大學(xué)才有。

父親退休后不久，我們搬到了加州。我們的暑假通常要么在科羅拉多州的山區(qū)，要么在加州。父親很節(jié)儉，所以在加州，我們?nèi)チ宋挥谕崴购﹨^(qū)和圣莫尼卡之間的海洋公園。我們住在瀝青停車場中央的一棟小房子里——但離海邊只有一個街區(qū)。

我父母搬家的時候，我的一個姐姐席爾瓦（Silva）已經(jīng)在那里當(dāng)作家了，她對電影行業(yè)很感興趣。她幫我挑選了父母買的房子。我在那里讀完了初中，然后去了洛杉磯的漢密爾頓高中。

在我讀高中的時候，對科學(xué)有追求的人自然而然地會去加州理工學(xué)院。那時，曼吉已經(jīng)是加州理工學(xué)院地球物理科學(xué)的研究生了。我的大哥利昂（Leon）曾在太平洋戰(zhàn)區(qū)擔(dān)任無線電操作員，也在那里學(xué)習(xí)電氣工程。（我的弟弟艾薩克后來去了加州大學(xué)伯克利分校，在哥倫比亞大學(xué)獲得物理學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)在在勞倫斯·利弗莫爾實驗室從事激光研究。）

但我更想接受文科教育。我向曼吉咨詢這方面的問題時，他沒能立即給出答案，不過他咨詢了同學(xué)。他們說普林斯頓大學(xué)的文科專業(yè)不錯。我申請了，并獲得了所謂的地區(qū)獎學(xué)金，可能是因為地域多元化。

圖3： 1966年，巴斯兄弟姐妹從左到右依次為 Leon、Pearl、Manuel、Frances、Hyman、Sylva、Madeline和Isaac，攝于洛杉磯

我對普林斯頓一無所知，繼承了父母的節(jié)儉。我從加州去普林斯頓的時候搭便車。為了不給父母添麻煩，我就這樣跑了好幾趟橫跨美國的旅行。父母為我支付的教育費用總共只有500美元。我每年夏天都打工。高中畢業(yè)和去普林斯頓之間的那個夏天，我在俄勒岡州的一個伐木營地打工。后來營地因為火災(zāi)隱患關(guān)閉了，我后來成了一名森林消防員。大一結(jié)束后的那個夏天，我在普吉特灣圣胡安群島附近的一艘鮭魚捕撈船上工作。

抵達普林斯頓后，我大吃一驚。我以前在加州，天空湛藍，色彩柔和，但現(xiàn)在這里卻充滿了泥土般的色彩和鉛條玻璃窗。起初，我感到很壓抑，但最終還是喜歡上了這里。

因為我早到幾天，那里沒人。所以我搭便車去了華盛頓特區(qū)。因為沒錢，我就在華盛頓紀(jì)念碑附近走了一圈，然后回到了普林斯頓。那時，人們已經(jīng)開始聚集了。

你問我什么時候轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)的。答案非常明確：大一榮譽微積分，由埃米爾·阿廷（Emil Artin）教授。助教包括約翰·泰特（John Tate）和塞爾吉·朗（Serge Lang）。那門課的學(xué)生包括弗雷德·阿爾姆格倫（Fred Almgren）、邁克·阿廷（Mike Artin）、史蒂夫·蔡斯（Steve Chase）、李·紐維爾斯（Lee Neuwirth）、史蒂夫·沙努埃爾（Steve Schanuel）——許多人后來都成為了數(shù)學(xué)家。

埃米爾·阿廷是一位戲劇老師，面容嚴(yán)肅，風(fēng)格像歌劇。有一次，一個學(xué)生在課堂上說了些什么。阿廷聳了聳肩，朝那個學(xué)生走去。這副模樣看起來十分咄咄逼人。但他隨即從口袋里掏出一枚五分硬幣，遞給學(xué)生，說道：“你這主意真不錯?！?/p>

當(dāng)時高中還沒有教微積分。所以這對我來說是第一次接觸數(shù)學(xué)，也成為了我正式接觸數(shù)學(xué)的入門課。

我一直以為自己知道實數(shù)是什么。突然間，我被說服相信它是柯西有理數(shù)序列的等價類。這簡直是倒退。這種想法怎么可能行得通呢？

我并非熱愛實分析或微積分。我喜歡的不僅是教學(xué)中的數(shù)學(xué)思維，還有學(xué)生身上的那種思維。他們會提出各種想法，而我會想，究竟是誰會想到這些呢？ 我想，如果你足夠了解這些并且密切關(guān)注它們，最終你會學(xué)到其中的一部分，但不是全部。

采訪者：您學(xué)的什么專業(yè)？

巴斯：數(shù)學(xué)，默認的。我對很多科目都感興趣，但只有在數(shù)學(xué)方面我才覺得自己有能力。

采訪者：您還有其他興趣可能會挑戰(zhàn)您對數(shù)學(xué)的興趣嗎？

巴斯：我對很多事情都很好奇。但我從未覺得它們會挑戰(zhàn)我對數(shù)學(xué)的興趣，反而在很多方面增強了它，尤其是我對藝術(shù)的興趣。

順便說一句，當(dāng)時普林斯頓大學(xué)全是男生。而且費用昂貴：如果有約會對象，就得安排他們住酒店。我發(fā)現(xiàn)融入社交圈的最好方式就是在橄欖球周末去酒吧當(dāng)調(diào)酒師。社交表現(xiàn)就是大口喝酒。我并沒有刻意去跟他們較勁。

采訪者：您什么時候發(fā)現(xiàn)自己想讀研究生？

巴斯：自從我主修數(shù)學(xué)之后，這對我來說就成了理所當(dāng)然的事。我喜歡數(shù)學(xué)思考，除了研究生院，沒有其他地方可以讓我進行這種思考。

當(dāng)時的應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展不如現(xiàn)在這么蓬勃。數(shù)學(xué)的主要應(yīng)用出現(xiàn)在第二次世界大戰(zhàn)期間。事實上，塞繆爾·艾倫伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麥克萊恩（Saunders MacLane）的合作始于哥倫比亞大學(xué)的一個戰(zhàn)時項目，該項目致力于彈道學(xué)等研究。該計劃隸屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)小組（Applied Mathematics Panel），該小組成立于1942年，是美國科學(xué)研究與發(fā)展局下屬國防研究委員會的一個部門。[Rees1988]

許多參與曼哈頓原子彈研發(fā)計劃的人，比如馮·諾依曼（von Neumann）等人，大多是純數(shù)學(xué)家或物理學(xué)家。開闊的視野、概念性的思維和宏大的思維對這項工作至關(guān)重要。

應(yīng)用數(shù)學(xué)等領(lǐng)域在飛機設(shè)計中當(dāng)然至關(guān)重要，偏微分方程和動力學(xué)對高科技裝備的設(shè)計至關(guān)重要，尤其是某些戰(zhàn)爭武器。這些問題以及物流問題最終在戰(zhàn)后得到了應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的更充分的探討。

第二次世界大戰(zhàn)的一大影響是，由于雷達以及最終的原子武器和密碼學(xué)的重要性，軍方開始認識到基礎(chǔ)研究在國家安全中發(fā)揮著重要作用。

他們也明白實現(xiàn)這一目標(biāo)需要什么，并希望戰(zhàn)后能夠繼續(xù)下去。他們的想法是建立某種制度來繼續(xù)支持這一目標(biāo)。有人提議成立國家科學(xué)基金會，但被杜魯門否決，因為他反對該基金會高度獨立于聯(lián)邦政府的監(jiān)督。

因此，支持基礎(chǔ)研究的努力仍在繼續(xù)，但這次是在海軍研究辦公室進行的。美國國家科學(xué)基金會（NSF）最終成立時，其文化借鑒了當(dāng)時海軍研究辦公室的文化，真正支持基礎(chǔ)科學(xué)。

圖4： 海曼1958年就讀芝加哥大學(xué)博士生照片

照片源：保羅·哈爾莫斯 (Paul Halmos)

1951年至1955年，我在普林斯頓大學(xué)學(xué)習(xí)，之后在芝加哥讀研究生，直到1959年。1957年，蘇聯(lián)人造衛(wèi)星“斯普尼克”（Sputnik）發(fā)射升空。很多人認為蘇聯(lián)過于落后，根本無法實現(xiàn)這樣的目標(biāo)。這真是一次真正的覺醒和震撼。國家意識到需要認真對待這個問題，并在科技領(lǐng)域進一步發(fā)展，提升實力。

因此，他們制定了激勵措施，支持教育朝著這個方向發(fā)展。任何以任何方式表明自己對科學(xué)或數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生都會受到充分鼓勵。因此，在我讀研究生和博士期間，由于基礎(chǔ)科學(xué)和數(shù)學(xué)發(fā)展得到大力支持，我很容易獲得獎學(xué)金或助學(xué)金。

采訪者：您什么時候意識到自己擅長代數(shù)或者對代數(shù)特別感興趣？

巴斯：從一開始。在微積分課程中，思維就是代數(shù)的。我們不是在解決復(fù)雜的微分方程；實分析的核心是度量空間。

有一道題我至今還記得。那是課程考試?yán)锏囊坏李}，所有考試都是帶回家的，我們得花好幾天時間才能做完。當(dāng)然，那時候還沒有互聯(lián)網(wǎng)，也沒有現(xiàn)代計算器。

按如下方式定義函數(shù)f:?→?。當(dāng)x∈?即x=p/q，其中p,q∈?，p和q既約時，取f(x)=1/q。當(dāng)x??時，取f(x)=0。問f在哪里連續(xù)？

我對這個問題的第一反應(yīng)是生氣。怎么會有人能回答這樣的問題？ 你無法畫圖。所以我不得不思考，我有什么工具可以回答這個問題？我有兩個工具：連續(xù)性的定義和f的定義。我不禁想， 僅僅用這些真的能推理嗎？

我花了幾天時間思考這個問題。我學(xué)到的與其說是答案，不如說是意識到，基于這樣的定義進行推理實際上是可能的，而且你能夠回答這個乍一看似乎不可能的問題。

乍一看，這個函數(shù)像是人為構(gòu)造的。但實際上，這個問題蘊含了關(guān)于離散性、密度以及它們之間關(guān)系的實質(zhì)性概念。這些概念一直縈繞在我的腦海里，并激發(fā)了我思考許多事物，例如離散群和格。

采訪者：為什么選擇芝加哥大學(xué)攻讀博士學(xué)位？

巴斯：我忘了為什么選擇芝加哥了。

應(yīng)該說，現(xiàn)在難多了。我覺得在如今這個競爭激烈、考試導(dǎo)向太強的世界里，我根本不可能成為一名成功的學(xué)生。

在普林斯頓或芝加哥，我從未覺得自己是在和同學(xué)競爭。唯一的競爭是思想的競爭。數(shù)學(xué)是我的對手，但它并不卑鄙，規(guī)則也清晰明確。勝利不在于放倒什么，而在于精通，與思想融為一體。這是我從一開始就欣賞的數(shù)學(xué)文化之一。

即使在普林斯頓，那間屋子里也有各種各樣的性格和體型的人。他們受到的待遇只與他們的思維方式有關(guān)。

我發(fā)表的第一篇論文[Bass58]出自芝加哥大學(xué)Halmos教授的一門“代數(shù)邏輯”課程。Halmos引入了“單子代數(shù)”（Monadic algebra）的概念。他提到，有限多個生成元的自由單子代數(shù)是有限的還是無限的，這是一個懸而未決的問題。我證明了它是有限的，并給出了它的基數(shù)。那是我的第一篇論文。它并不艱深。

科學(xué)中的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)語言

采訪者：如果您年輕時可以從攻讀博士學(xué)位的年代穿越到現(xiàn)在，您會對周圍的哪些變化感到最驚訝？

巴斯：作為一名研究生，我以為數(shù)學(xué)有著悠久而輝煌的歷史，它或多或少會繼續(xù)延續(xù)下去。我沒有預(yù)見到，受該領(lǐng)域進步（尤其是格羅滕迪克的成就）以及科技進步的影響，數(shù)學(xué)發(fā)生了如此根本性的變革。我在不同時期思考過數(shù)學(xué)作為一個整體、作為一種文化的動態(tài)。人口規(guī)模帶來了巨大的變化。

在我是學(xué)生的時代，美國數(shù)學(xué)正開始蓬勃發(fā)展。在此之前，美國數(shù)學(xué)起步緩慢。即使是像麥克萊恩這樣的人，也得去哥廷根大學(xué)攻讀學(xué)位。但后來，隨著美國數(shù)學(xué)在科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域地位的提升，它蓬勃發(fā)展起來。如今，從事數(shù)學(xué)研究的人數(shù)已大幅增長。并非每個人都能成為學(xué)者。但長期以來，學(xué)術(shù)職位一直空缺。數(shù)學(xué)領(lǐng)域之所以聲名鵲起，不僅是因為人們欽佩它，還因為它對國家安全、經(jīng)濟以及許多其他領(lǐng)域日益增長的影響。甚至技術(shù)和應(yīng)用領(lǐng)域也高度依賴數(shù)學(xué)。

以非侵入性醫(yī)學(xué)診斷為例。該領(lǐng)域的重大突破很大程度上依賴于19世紀(jì)末的數(shù)學(xué)成果。這些成果早被準(zhǔn)備好，隨時可供化學(xué)家或醫(yī)生使用。例如，假設(shè)你取一個三維物體，進行平行切片，并從這些切片中獲取數(shù)據(jù)。你能重建原始的三維物體嗎？這是微分幾何中一個自然的問題。或者，如果你從多個方向截取線段，你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)重建它嗎？這些幾何問題在19世紀(jì)末基本得到解決。它們是CAT（計算機軸向斷層掃描，現(xiàn)稱CT掃描）和MRI（磁共振成像）的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)中存在一個有益的悖論，尤金·維格納（Eugene Wigner）稱之為“數(shù)學(xué)的不合理有效性”（1960，第1頁[Wigner1960]）。人們一次又一次地出于求知欲去追求數(shù)學(xué)思想。但事實證明，我們的好奇心和審美本能會引導(dǎo)我們找到與大自然為許多問題準(zhǔn)備好的相同的答案。這些事物可能需要很長的時間才能得到潤色修整，但關(guān)鍵在于，當(dāng)修整它們時，他們會產(chǎn)生一些想法，而那些執(zhí)著于只關(guān)注應(yīng)用的人永遠不會想到這些。他們永遠不會想到數(shù)學(xué)發(fā)展過程中所考慮的抽象和概念發(fā)展階段。

正如伽利略所說，我們必須理解自然的語言，也就是數(shù)學(xué)的語言。

“哲學(xué)被寫在這部宏大的書籍——宇宙之中……[若]未能先學(xué)會理解其語言、讀懂構(gòu)成它的文字，便無法參透這部書。它是以數(shù)學(xué)的語言寫就的……”——伽利略/德雷克，1623/1957，第237-238頁[Galileo1623]

這是一個深邃的洞見，且其真理性不斷被重新驗證。歷史的巧合在此重現(xiàn)——這一學(xué)科的美學(xué)理念始終與現(xiàn)實世界緊密相連。

我認為數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)途徑已經(jīng)在某種程度上飽和了。越來越多接受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人不得不從事金融、數(shù)據(jù)科學(xué)、計算機科學(xué)和其他應(yīng)用領(lǐng)域的工作。這很好，因為優(yōu)秀的批判性思考者在這些領(lǐng)域至關(guān)重要。所謂的現(xiàn)實世界越來越需要善于思考和解決問題的人；數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)這些技能。

采訪者：您認為自從您成為博士后以來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域有哪些進步？哪些方面變得更具挑戰(zhàn)性？

巴斯： 總的來說，這個領(lǐng)域在不斷進步，我認為只要我們不毀滅文明，這個領(lǐng)域就永遠不會停止，不幸的是，我們不能再排除這種可能性了。

舉個例子，學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)以及一般科學(xué)的經(jīng)濟基礎(chǔ)是什么？

在科學(xué)領(lǐng)域，關(guān)鍵在于實驗室的運營。如果你是科學(xué)系主任，你任命了一位新教員，你負責(zé)組建團隊，發(fā)放薪水，此外，以前僅僅為了建立實驗室，就需要投入五十萬美元，現(xiàn)在可能更多。實驗室不僅需要學(xué)術(shù)支持，還需要人員、管理和行政技能，甚至需要科學(xué)家的幫助，才能維持項目的正常運轉(zhuǎn)。因此，科學(xué)領(lǐng)域的研究經(jīng)費通常比數(shù)學(xué)領(lǐng)域的要多得多。

另一方面，數(shù)學(xué)家的經(jīng)濟基礎(chǔ)不同。我認為對數(shù)學(xué)家來說，實驗室就是教室——尤其是高級研究生課程，它們充當(dāng)著該學(xué)科思想的苗床。數(shù)學(xué)文化的結(jié)構(gòu)與科學(xué)文化不同。在一個活躍的數(shù)學(xué)系，研討會的安排在其他領(lǐng)域是獨一無二的。大量的時間和智力投入到這些研討會中。教師通常不會因為舉辦研討會而獲得正式的榮譽。

數(shù)學(xué)系通常擁有STEM領(lǐng)域規(guī)模較大的師資隊伍之一。是什么讓數(shù)學(xué)系擁有如此規(guī)模的師資隊伍？其經(jīng)濟基礎(chǔ)在于教育：教學(xué)使命。數(shù)學(xué)是一門賦能科學(xué)技術(shù)的學(xué)科。在教授微積分、線性代數(shù)和微分方程等基礎(chǔ)學(xué)科時，數(shù)學(xué)在教學(xué)領(lǐng)域占據(jù)主導(dǎo)地位。隨著大學(xué)越來越依賴學(xué)費作為收入來源，教學(xué)成為一種日益重要的資源。它維持著合理的師資規(guī)模，而且非常寶貴。

數(shù)學(xué)家們沒有充分認識到本科教學(xué)質(zhì)量對他們的重要性。這關(guān)乎經(jīng)濟學(xué)基礎(chǔ)。其他人，尤其是工程師，常常覬覦這塊領(lǐng)地，這當(dāng)然沒錯。他們覺得自己更適合教工程師微積分，因為他們知道微積分的用途。這種說法并非毫無道理。

艾倫伯格當(dāng)時擔(dān)任哥倫比亞大學(xué)數(shù)學(xué)系主任，當(dāng)時正值這一挑戰(zhàn)發(fā)生之際。他繞過了正常的程序，沒有去找院長辯論，而是直接去找校長。校長表示，哥倫比亞大學(xué)是一所一流的研究型大學(xué)，沒有一流的數(shù)學(xué)系的研究型大學(xué)是無法生存的。一流的數(shù)學(xué)系需要合理的師資規(guī)模，能夠涵蓋足夠多的領(lǐng)域，并擁有深厚的數(shù)學(xué)實力。

哥倫比亞大學(xué)數(shù)學(xué)系規(guī)模不大，但就其規(guī)模而言，與大學(xué)和學(xué)院的規(guī)模相比，其教學(xué)職能相對較大。如果他們失去這些教學(xué)資源，就意味著系規(guī)模的大幅縮減，從而導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量的下降。這是一個“臨界規(guī)?！钡膯栴}。這個論點很有說服力。

但這種爭論并非純粹關(guān)乎數(shù)學(xué)本身的價值。它還傳達了一個信息：教學(xué)質(zhì)量必須與規(guī)模相符。遺憾的是，這一點并不總是能夠充分傳達給進入系里的年輕數(shù)學(xué)家們，他們并沒有意識到數(shù)學(xué)系規(guī)模以及教學(xué)質(zhì)量對他們有多大的影響。

隨著時間的推移，這種情況正在緩慢地向好的方向改變。你不能再說，只要某人的數(shù)學(xué)成績非常優(yōu)秀，無論他作為老師多么不稱職都無所謂。進一步的論證是，事實上，提高教學(xué)質(zhì)量將提高數(shù)學(xué)的質(zhì)量和生產(chǎn)力。這項承諾必須成為數(shù)學(xué)系文化的一部分，并且必須得到系領(lǐng)導(dǎo)層的培育和支持。

21960至1990年代：主要是交換同調(diào)代數(shù)、投射模、泛函和樹

采訪者：在1960到70年代，您的工作主要集中在同調(diào)代數(shù)和投射模上。您記憶中最深刻的是什么？

巴斯：為了準(zhǔn)備這次采訪，我翻閱了我65歲生日會議[LamMagid1997]上寫的那本書。我記得有幾次我讀到了一些我欽佩的結(jié)果，于是我問了那些證明了這些結(jié)果的人，他們說：“你做到了。” 這就是我讀完那本書的感受。很多事情已經(jīng)從我的記憶中淡去，只剩下一些非常普通的印象。

我確實記得，進入一個新鮮的領(lǐng)域總是令人欣喜，當(dāng)時的同調(diào)代數(shù)就是這樣的。這片土地還沒有完全被開發(fā)，所有低垂的果實都還沒有被采摘。它提出了許多新的問題。同調(diào)代數(shù)是以拓撲學(xué)中發(fā)展起來的同調(diào)理論和上同調(diào)理論為模型的。

桑德斯·麥克萊恩（Saunders MacLane）有一篇關(guān)于自然變換的論文，它本質(zhì)上是函子之間的態(tài)射。例如，一個有限維向量空間同構(gòu)于它的對偶。它們具有相同的維度。但它以一種自然的方式同構(gòu)于它的第二個對偶，因為你可以將它等價于它的第二個對偶。在這兩個同構(gòu)中，一個是典范的；它是自然的。于是，范疇論的概念開始出現(xiàn)。

同調(diào)代數(shù)（homological algebra）蘊含著范疇論（category theory）的種子，它剛剛開始發(fā)展成為一種將代數(shù)拓撲的思想公理化的全新理論。拓撲學(xué)研究的是復(fù)雜的連續(xù)對象。離散的事物更容易處理，更容易計算，也更容易發(fā)現(xiàn)差異。例如，（上）同調(diào)理論將離散的代數(shù)對象與空間聯(lián)系起來。

因此，這些理論是強大的工具，因為它們可以將復(fù)雜的幾何對象代數(shù)化。同調(diào)代數(shù)將這些理論方法公理化。因此，這些公理可以應(yīng)用于拓撲空間以外的其他范疇，例如環(huán)、群、李代數(shù)等等。

笛卡爾在代數(shù)和幾何之間架起了一座重要的橋梁。這發(fā)展成為將空間X與X上的函數(shù)環(huán)R(X)關(guān)聯(lián)的實踐。這支持了將許多與X相關(guān)的幾何對象轉(zhuǎn)化為與R(X)相關(guān)的代數(shù)類似物的部分詞典。例如，X上的向量叢對應(yīng)于投射R(X)-模。

投射模（projective module）對于任何環(huán)都具有純代數(shù)意義，不一定是R(X)的形式。因此，投射模和環(huán)的同調(diào)代數(shù)是純代數(shù)理論，它們與幾何學(xué)有著重要的聯(lián)系，也與代數(shù)中的經(jīng)典問題有著一些意料之外的聯(lián)系。

新的環(huán)同調(diào)代數(shù)為其應(yīng)用打開了大門。環(huán)R的第一個同調(diào)不變量是它的全局維數(shù)。我記得艾倫伯格在環(huán)論發(fā)展最為成熟的領(lǐng)域，也就是當(dāng)時的有限維代數(shù)中研究了這一點。它們有一個冪零根，模為半單的。事實證明，如果R是半單的，則R的全局（整體）維數(shù)為零，否則該維數(shù)為無限。因此，令人失望的是，同調(diào)代數(shù)并沒有帶來任何新的啟示。

但更有成效的應(yīng)用領(lǐng)域是交換代數(shù)，它與代數(shù)幾何緊密相關(guān)。同調(diào)代數(shù)在其中有何意義？在這方面，它帶來了巨大的回報。這些成就源于讓-皮埃爾·塞爾（Jean-Pierre Serre）、莫里斯·奧斯蘭德（Maurice Auslander）、大衛(wèi)·布赫斯鮑姆（David Buchsbaum）以及當(dāng)時其他代數(shù)學(xué)家的發(fā)展。例如，全局維度的有限性等同于正則性。從幾何學(xué)上講，它等同于對應(yīng)簇的光滑性。這就是交換同調(diào)代數(shù)的誕生，它至今仍是一個充滿活力的研究領(lǐng)域。

歐文·卡普蘭斯基（Irving Kaplansky，巴斯的博士生導(dǎo)師，作者注）在一系列講座中開始揭示交換代數(shù)中的同調(diào)方法，這啟發(fā)了我的論文方向。對我來說，卡普蘭斯基是一位非常輕松的老師。他不會試圖面面俱到。他會挑選一些關(guān)鍵定理，然后嘗試沿著測地線（意即局部最短路徑的方式，zzllrr小樂譯注）推導(dǎo)這些定理，不讓技術(shù)細節(jié)和枝節(jié)問題妨礙教學(xué)。

事實證明，這是一種很有吸引力的教學(xué)方式。它勾勒出該學(xué)科的宏大思想，同時也揭示了當(dāng)時許多懸而未決的問題。例如，考慮一個正則局部環(huán)（一個光滑點處的局部環(huán)）是否為一個唯一分解整環(huán)。這是一個非常自然的代數(shù)問題，其答案可以用同調(diào)方法得到證明。塞爾用同調(diào)術(shù)語構(gòu)建了相交重數(shù)理論框架。

同調(diào)代數(shù)在其早期階段，將投射分解和內(nèi)射分解，尤其是投射模，帶到了人們的視野中。投射模非常棒。自由模類似于向量空間，但標(biāo)量來自環(huán)而不是域。因此，我們的想法是，模仿線性代數(shù)或主理想整環(huán)的初等因子理論，看看能將其推廣到何種程度。

在我的論文中，我研究了與內(nèi)射維數(shù)相關(guān)的內(nèi)容。當(dāng)時，這方面的研究并不活躍，所以對我來說，這是一個鮮有涉獵的領(lǐng)域。我認為，它之所以沒有受到太多關(guān)注，原因之一是內(nèi)射模往往不是有限生成的。例如，對于阿貝爾群，一個重要的內(nèi)射模是?/?，它肯定不是有限生成的。

因此，內(nèi)射模和內(nèi)射維數(shù)的發(fā)展將我引向了一個看似很自然地可以同調(diào)地看待的方向。與此同時，我并不清楚它在更廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中究竟有多有趣。當(dāng)時我并沒有為此擔(dān)心。但我那篇所謂的“泛在性”（Ubiquity）論文，最終成為了我在這個主題上工作的巔峰，并成為我被引用次數(shù)最多的論文之一[Bass1963]。

鑒于我的方法，研究滿足自身作為A-模的環(huán)A具有有限內(nèi)射維數(shù)是很自然的。我發(fā)現(xiàn)了幾個與此等價的條件，尤其是當(dāng)A是交換諾特環(huán)時。當(dāng)我向塞爾證明這一點時，他指出，當(dāng)A是仿射環(huán)（就像在代數(shù)幾何中一樣）時，其中一些與對偶相關(guān)的條件已被格羅滕迪克（Grothendieck）研究過，他根據(jù)Gorenstein關(guān)于平面曲線奇點的論文將它們稱為Gorenstein環(huán)。其他例子包括有限阿貝爾群的積分群環(huán)，這與我對有限群積分表示的興趣相關(guān)。

這篇關(guān)于泛在性的論文試圖將一系列看似毫無關(guān)聯(lián)的結(jié)果連貫地整合在一起，之后我才將注意力轉(zhuǎn)向其他方向。這有點像“房屋清掃”；我的目標(biāo)并非解決什么大問題。因此，這篇論文為何能引起如此大的關(guān)注，我感到頗為好奇。

為了使情況更近一步，我們可以研究樹上的群作用。該領(lǐng)域源于對同余子群問題的研究，該問題探討的是，對于全局域上的算術(shù)群，有限指標(biāo)子群在多大程度上可以用同余子群“解釋”。在分裂簡單代數(shù)群G中，當(dāng)rank?(G)≥2時可以得到有效結(jié)果。人們早就知道，對于秩為1的群，例如S?L??(?)，這不成立。

塞爾繼續(xù)分析了S?L??(A)的情況，其中A是S-算術(shù)環(huán)，例如??[1/p]，p是素數(shù)。他證明了，如果A的單位群為無限，則同余子群性質(zhì)本質(zhì)上得以保留。他的方法涉及研究S?L??(F)的離散子群Γ，其中F是局部域。關(guān)于此研究的一個顯著結(jié)果是Ihara定理：如果Γ不具有撓率，則Γ是一個自由群。塞爾通過使用Γ對Bruhat-Tits廈（building，秩為1時是一棵樹）的作用，系統(tǒng)化了這項研究。

1968年，塞爾在法國學(xué)院開設(shè)了一門關(guān)于這些思想的課程。當(dāng)時我在巴黎休假一年，塞爾邀請我準(zhǔn)備他的講座筆記。我很樂意做這件事，盡管我當(dāng)時的重點是代數(shù)K-理論。塞爾發(fā)起了一項關(guān)于群Γ作用于樹X的普遍研究。除了恢復(fù)Ihara定理之外，他還證明了，例如，如果Γ\X是一條邊，那么Γ允許合并自由積分解。

在一次關(guān)于課程筆記的咖啡館討論中，塞爾指出這些結(jié)果應(yīng)該是樹上群作用的一般組合理論的片段，并建議我可以在筆記中闡述細節(jié)。我照做了，將其表述為一種分支覆蓋空間理論的類似物，其中Γ表示為商“群圖”Γ\\X的“基本群”。這項工作現(xiàn)在被稱為“Bass-Serre理論”，被納入塞爾的《樹》

Trees

完成這些之后，我的注意力又回到了代數(shù)K-理論。在IHéS法國高等科學(xué)研究所，我和泰特一起研究了全局域的K?。大約十年后，Peter Shalen（彼得·沙倫）問了我一個關(guān)于G?L??(?)的有限生成子群的具體問題，他懷疑這個問題可以用樹上的群作用理論來解答。我證明了一個小定理，證實了他的懷疑。

當(dāng)瑟斯頓（Thurston）來哥倫比亞大學(xué)做學(xué)術(shù)報告時，我給他看了這個定理，并問他是否知道沙倫的興趣所在。他說他不知道，但這個結(jié)果可以幫助證明史密斯（Smith）猜想，即關(guān)于三維球面周期微分同胚的固定圓的結(jié)可解性。瑟斯頓的沖動被證明是正確的，但它的實現(xiàn)必須動員幾位數(shù)學(xué)家的努力，這些研究最終匯集在了《史密斯猜想》[MorganBass1984]一書中。

這項工作使得Morgan和Shalen深化并推廣了樹的群作用理論。特別是，他們引入了Λ-樹的概念，其中Λ是任意全序阿貝爾群。組合樹屬于Λ=?的情況。他們建立了?-樹的幾何重要性[MorganShalen1984]。這些事件重新激起了我對樹作用的興趣，包括與Roger Alperin合作研究Λ非阿基米德的情況。

這項工作的成果之一是我與Alex Lubotzky合著的《樹格》

Tree Lattices

圖5：從左到右J. - P. Serre、Alex Lubotzky和Hyman Bass，耶路撒冷希伯來大學(xué)愛因斯坦數(shù)學(xué)研究所，1998年

照片源：Lisa Carbone

Ihara的論文是所有這些工作的關(guān)鍵來源，它不僅證明了S?L??(?p)中無撓率的離散子群Γ是自由的，而且它還附加到Γ一個zeta函數(shù)[Ihara1966]。雖然我之前沒有怎么研究過zeta函數(shù)，但為了自我啟發(fā)，我決定理解Ihara論文的這一部分。

我將Ihara的構(gòu)造推廣到任何均勻格，不一定無撓率，也不一定是正則樹上的格，并使用了來自投射模和表示論工作的非交換行列式思想，例如在我的論文“離散群的歐拉示性數(shù)和特征”[Bass1976]中。雖然我將這篇論文視為自學(xué)練習(xí)，但令人驚訝的是，它成為了我被引用次數(shù)最多的論文之一。

31960年代中期至80年代中期：代數(shù)K理論和同余子群問題

采訪者：您最為人熟知的可能是在1960年代到80年代對代數(shù)K理論和同余子群問題的研究。您對這項工作有什么印象？

巴斯：有趣的是，事物具有連續(xù)性。我一直在思考塞爾猜想，即多項式環(huán)上的投射模是自由的。作為一名代數(shù)學(xué)家，我心中一直存在的模型是初等因子理論（elementary divisor theory），即主理想整環(huán)（PID - Principal Ideal Domain）或戴德金整環(huán)上的模。

令我大開眼界的是塞爾在杜布雷爾-皮索（Dubreil-Pisot）研討會上發(fā)表的一篇論文，他證明了秩足夠大的投射模有一個自由直和項（free direct summand）[Serre1958]。這個結(jié)果與我之前見過的任何結(jié)果都截然不同。因此，我仔細研究了這個證明。

他的證明讓我意識到，拓撲方法和代數(shù)方法之間存在著一道巨大的壁壘。這道壁壘類似于光滑性和解析性之間的壁壘。對于解析性，如果你知道一個函數(shù)的芽（germ）——如果你知道它在某個點的一個小鄰域內(nèi)——它就被全局確定了。兩個在一個小的開集上一致的解析函數(shù)是相同的。如果它只是可微的，甚至是無限可微的，那就不再成立了。

這意味著，有了光滑性——而不是解析性——你就可以進行單位分解。你可以將函數(shù)的各個部分組合成在不同位置表現(xiàn)良好的函數(shù)，然后將它們光滑地拼接在一起。

單位分解是拓撲方法的基操。如果把投射?？醋飨蛄繀?，得到一個自由直和項意味著可以得到一個處處非零的截面，因為這樣它就能生成一個一維直和項。

塞爾的結(jié)果是一個簡單的拓撲定理的代數(shù)類似物：如果向量叢E的秩超過了基的維數(shù)，那么E有一個（連續(xù)的）非零截面。那么，如何構(gòu)造一個處處非零的截面呢？你可以在基空間的骨架上進行歸納構(gòu)建。歸納地講，在t-骨架，你想將其擴展到(t+1)-骨架的一個單元內(nèi)部。該單元已在邊界上構(gòu)造，你想將其擴展到不帶零的內(nèi)部。設(shè)向量叢秩為r，基空間維數(shù)為d，則此擴展的障礙幾乎同義反復(fù)地位于π_t?(S??1)，如果r?1>d?1≥t，則障礙消失。

代數(shù)中的函數(shù)表現(xiàn)得像解析函數(shù)。如果有兩個多項式，即使它們包含多個變量，并且它們在一個開集上一致，那么它們就是相同的。所以你不能拼接局部給定的多項式函數(shù)。

在秩為r的投射模P中，塞爾試圖構(gòu)建一個元素（“截面”）s，模每個極大理想都非零。因此，我們處理的是環(huán)極大理想空間X。s的零軌跡Z?(s)在X中閉合。選擇一個截面t，它在Z?(s)上非零，并且與用于構(gòu)建s的所有截面“線性無關(guān)”。如果r很大，并且Z?(s+t)?Z?(s)維度較低，則是可能的。這就是塞爾的方法。這與我之前見過的論證完全不同。

令?(R)為秩為r的投射R-模的同構(gòu)類集，并定義通過將P發(fā)送到P⊕R，?(R)????(R)成立。塞爾定理指出，對于d=dim?(R)，r≥d，則這些映射是滿射的（surjective）。受拓撲類似物的啟發(fā)，我證明了它們對于r>d是內(nèi)射的（injective）。這引起了人們對代數(shù)中“穩(wěn)定范圍”現(xiàn)象的更多關(guān)注。

隨后，格羅滕迪克提出了黎曼-羅赫（Riemann-Roch）定理，幸運的是，它發(fā)表在了波雷爾（Borel ）和塞爾的一篇開創(chuàng)性論文中[BorelSerre1958]，后來被發(fā)表在SGA 6 [Grothendieck1957]。格羅滕迪克想等到這些想法得到進一步發(fā)展，但這些想法太過豐富，以至于無法拖延發(fā)表。

其中一個想法是K-函子，即代數(shù)簇（algebraic variety）或概形（scheme）X上的向量叢的“格羅滕迪克群”K?(X)，它被處理成類似于上同調(diào)理論的東西。阿蒂亞（Atiyah）和希策布魯赫（Hirzebruch）以此為基礎(chǔ)，創(chuàng)立了拓撲空間X的拓撲K-理論，將K??(X)定義為“X的n次懸垂（suspension）的K群”。

圖6：從左到右，Lisa Carbone、Peter Kropholler、Elizabeth Schneider、Hyman Bass、Sal Liriano和Ilya Kapovich，奧爾巴尼群論會議，1993年

對我來說，嘗試構(gòu)建這些發(fā)展的代數(shù)類似物似乎是自然而然的。對于環(huán)R，我們首先從K?(R)開始，即有限生成（左）R-模的格羅滕迪克群。當(dāng)R滿足交換律、Noether環(huán)和正則律時，格羅滕迪克證明了一種“同倫不變性”：K?(R)?K?(R?[t])是一個同構(gòu)。

因此，有限生成的投射R?[t]-模與P?[t]“穩(wěn)定同構(gòu)”，其中P是R-模。結(jié)合穩(wěn)定性定理，這部分證實了“塞爾猜想”，即當(dāng)R為域（field）時，投射R?[t?, t?, … , t_d]-模P是自由的；如果rank?(P)≥d+2，則這可由同倫不變性和穩(wěn)定性定理推導(dǎo)出來。大約十年后，Quillen和Suslin完全證明了塞爾猜想。

圖7：海曼，1960年代中后期

尋求高等代數(shù)K-群K_n?(R)，n≥0的構(gòu)造是很自然的，但沒有令人滿意的懸垂集的代數(shù)類似物。我直接研究了n=1的情況。拓撲上，K?(X)=K?(S?X)，即X的懸垂集S?X上的向量叢的格羅滕迪克群。S?X可以看作是X上兩個錐的并集，沿它們公共基X粘合。

設(shè)E是S?X上的秩n向量叢。由于錐是可收縮的，E可以等價于每個錐上的平凡秩n叢。則E由平凡叢在S?X的“赤道”X上的“粘合”自同構(gòu)定義，換句話說，由元素α∈G?L_n(C?(X))定義，其中C?(X)是X上的連續(xù)實函數(shù)環(huán)。達到同構(gòu)，E由α的同倫類確定，即α模G?L_n(C?(X))的恒等分量G?L_n?(C?(X))的像，因此K?(X)=lim_n G?L_n(C?(X))/G?L_n?(C?(X))=G?L?(C?(X))/G?L??(C?(X))。

要定義一個代數(shù)類似物，需要用任意環(huán)R代替C?(X)來表示G?L_n?(C?(X))的代數(shù)代理。由于各種原因，使用由初等矩陣I+t?e_{i?j}生成的群E_n?(R)是合理的，其中t∈R，i≠j，且e_{i?j}，(1≤i,j≤n)是n×n矩陣空間的標(biāo)準(zhǔn)基。此外，定義K?(R)=G?L?(R)/E?(R)。我證明了K?的一些穩(wěn)定性定理，類似于K?的穩(wěn)定性定理。

我們與Alex Heller和Dick Swan一起證明了K?的同倫不變性的類似物。在我的著作《代數(shù)K-理論》中，我構(gòu)造了一些與K?和K?相關(guān)的正合序列（exact sequences）[Bass1968]。此外，米爾諾（Milnor）還撰寫了一篇精彩的代數(shù)K-理論導(dǎo)論，將該理論擴展到K??(R)[Milnor1969]。

盡管環(huán)C?(X)介導(dǎo)了代數(shù)與拓撲K理論的聯(lián)系，但事實證明，拓撲學(xué)中一個完全不同的分支，更早之前就對K?(R)的一個細微變體產(chǎn)生了興趣，其中R是群π中可能非交換的整群環(huán)Z?π。這就是“簡單同倫理論”，它探究同倫等價關(guān)系X?Y是否“簡單”。J. H. C. Whitehead（懷特海）定義了一個障礙，它存在于我們現(xiàn)在稱之為Whitehead群W?h?(π)中，其中π是X和Y的共同基本群。我們可以寫成W?h?(π)=K?(Z?π)/[±π]，其中[±π]表示元素屬于±π的對角矩陣類。

懷特海建立了初等矩陣的基本代數(shù)，例如證明了E?(R)是G?L?(R)的交換子群。他的學(xué)生格雷厄姆·希格曼（Graham Higman）對有限阿貝爾矩陣π進行了W?h?(π)的首次實質(zhì)性計算。這個代數(shù)為K?的計算提供了基本工具。

對于R可交換，行列式分解為K?(R)=R^×⊕S?K?(R)，R^×是R的單位群，后者來自特殊線性群。此外，對于R的理想J，還定義了相對群S?K?(R,J)。對于R=?，計算群S?K?(Z,J)時已經(jīng)遇到了S?L_n?(?)，n≥3的百年之久的“同余子群問題”。這引起了幾位數(shù)學(xué)家的努力，尤其是米爾諾和塞爾，最終形成了我們關(guān)于同余子群定理的論文[BassMilnorSerre1967]。這解決了算術(shù)環(huán)的S?L_n同余子群問題（n≥3），并將其與數(shù)論中的互反律聯(lián)系起來。

這些多元的聯(lián)系（與代數(shù)、代數(shù)幾何、拓撲K-理論、簡單同倫理論、泛函分析和數(shù)論）表明，這些代數(shù)K-理論尚且不溫不火的發(fā)展，其數(shù)學(xué)前景遠超我的預(yù)期。這更激發(fā)了我對構(gòu)建“好的”高等代數(shù)K-理論的興趣。因此，代數(shù)K-理論似乎擁有許多引人入勝的觸角，其中一些甚至超出了我的專業(yè)范圍，但卻缺乏數(shù)學(xué)核心。這促使我組織了一場會議，將這一新興學(xué)科的所有不同研究對象聚集在一起。

在提交給美國國家科學(xué)基金會的會議提案中，我曾這樣寫道：“有很多人有著類似的興趣，但他們的領(lǐng)域截然不同。只要把他們聚集在一起，就能產(chǎn)生人與人之間的化學(xué)反應(yīng)?！睍h取得了巨大的成功，這要歸功于奎倫，他帶來了一套完整的高等代數(shù)K-理論（兩個版本）的構(gòu)建以及一些基本的計算工具。這讓他獲得了菲爾茲獎。會議論文集出版于三卷厚厚的施普林格數(shù)學(xué)講義[Bass1973one][Bass1973two][Bass1973three]中。

- 上篇完 -

參考資料

https://arxiv.org/html/2502.09751v1

https://www.ams.org/journals/notices/202506/noti3189/noti3189.html

[Bas63]

Hyman Bass, On the ubiquity of Gorenstein rings, Math. Z. 82 (1963), 8–28, DOI 10.1007/BF01112819. MR153708

[Bas68]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1968. MR249491

[Bas73a]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, i. “Classical” algebraic K-theory, and connections with arithmetic (vol. 1), Springer, 1973.

[Bas73b]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, ii. “Classical” algebraic K-theory, and connections with arithmetic (vol. 2), Springer, 1973.

[Bas73c]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, iii. “Classical” algebraic K-theory, and connections with arithmetic (vol. 3), Springer, 1973.

[Bas76]

Hyman Bass, Euler characteristics and characters of discrete groups, Invent. Math. 35 (1976), 155–196, DOI 10.1007/BF01390137. MR432781

[Bas15]

Hyman Bass, Mathematics and teaching, Notices Amer. Math. Soc. 62 (2015), no. 6, 630–636.

[Bas17]

Hyman Bass, Designing opportunities to learn mathematics theory-building practices, Educational Studies in Mathematics 95 (2017), no. 3, 229–244.

[BCR01]

Hyman Bass, Lisa Carbone, and Gabriel Rosenberg, The existence theorem for tree lattices (appendix), Tree lattices, 2001.

[BK90]

Hyman Bass and Ravi Kulkarni, Uniform tree lattices, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 4, 843–902, DOI 10.2307/1990905. MR1065928

[BL01]

Hyman Bass and Alexander Lubotzky, Tree lattices, Progress in Mathematics, vol. 176, Birkh?user Boston, Inc., Boston, MA, 2001. With appendices by Bass, L. Carbone, Lubotzky, G. Rosenberg and J. Tits, DOI 10.1007/978-1-4612-2098-5. MR1794898

[BMS67]

H. Bass, J. Milnor, and J.-P. Serre, Solution of the congruence subgroup problem for SL_n(n≥3) and Sp_{2n}(n≥2), Inst. Hautes études Sci. Publ. Math. 33 (1967), 59–137. MR244257

[Car01]

Lisa Carbone, Non-uniform lattices on uniform trees, Mem. Amer. Math. Soc. 152 (2001), no. 724, xii+127, DOI 10.1090/memo/0724. MR1841021

[CR03]

Lisa Carbone and Gabriel Rosenberg, Lattices on nonuniform trees, Geom. Dedicata 98 (2003), 161–188. MR1988428

[LM99]

T. Y. Lam and A. R. Magid (eds.), Algebra, $K$-theory, groups, and education, Contemporary Mathematics, vol. 243, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. On the occasion of Hyman Bass’s 65th birthday; Papers from the conference held at Columbia University, New York, November 6–7, 1997, DOI 10.1090/conm/243. MR1733562

[Ree88]

Mina Rees, The mathematical sciences and World War II, A century of mathematics in America, Part I, Hist. Math., vol. 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, pp. 275–289. MR1003177

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