約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）是19世紀(jì)初期法國一位重要數(shù)學(xué)家，入選19世紀(jì)法國杰出科學(xué)人物。其研究領(lǐng)域涵蓋微分方程、數(shù)論及橢圓函數(shù)，是首個證實超越數(shù)存在的學(xué)者。

撰文 | 陳關(guān)榮

約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）是19世紀(jì)初期法國一位重要數(shù)學(xué)家，以他命名的數(shù)學(xué)定理有許多條。如果你在一般場合里只簡單地提及“劉維爾定理”，別人一定不知道你在說他哪一條定理。

在復(fù)分析中，劉維爾定理說：所有有界整函數(shù)都是常數(shù)。

在數(shù)論中，劉維爾定理說：所有劉維爾數(shù)都是超越數(shù)。

在哈密頓力學(xué)中，劉維爾定理說：相空間中沿著系統(tǒng)軌道的分布函數(shù)是常數(shù)。

在微分代數(shù)中，劉維爾定理說：一個初等函數(shù)如果有初等的原函數(shù)，那么該原函數(shù)一定能寫成同一個微分域上的函數(shù)加上有限個該域上函數(shù)的對數(shù)的線性組合；否則，這個初等函數(shù)便沒有初等原函數(shù)。

在雙周期橢圓函數(shù)理論中，劉維爾干脆給出四條定理：

劉維爾第一定理說：在一個周期平行四邊形內(nèi)沒有極點的橢圓函數(shù)是常數(shù)；

劉維爾第二定理說：橢圓函數(shù)在一個周期平行四邊形內(nèi)的極點處殘數(shù)之和為0；

劉維爾第三定理說：n階橢圓函數(shù)在一個周期平行四邊形內(nèi)取任意一個值n次；

劉維爾第四定理說：在一個周期平行四邊形內(nèi)零點之和與極點之和的差等于一個周期。

當(dāng)然，劉維爾對數(shù)學(xué)的貢獻遠遠不止這幾條定理。在詳細介紹他的學(xué)術(shù)成就之前，我們先來說說他的身世。

01
生平

劉維爾于1809年3月24日出生在法國加來海峽省（Pas-de-Calais）的圣奧梅爾市（Saint-Omer），1882年9月8日在巴黎去世，享年73歲。他的家鄉(xiāng)圣奧梅爾是2018年全球首批18個“國際濕地城市”之一，保存有很多歷史古跡和文物，是法國著名旅游景點。

圖1 約瑟夫·劉維爾肖像

劉維爾的父親克勞德-約瑟夫·劉維爾（Claud-Joseph Liouville，1772-1852）是拿破侖軍隊里的一位陸軍上尉，母親名叫泰雷茲·巴朗（Thérése Balland，1774-?）。劉維爾是他們的次子，幼年先后就讀于科梅爾西（Commercy）和圖爾（Tours）兩地。1825年，劉維爾進入巴黎綜合理工學(xué)院（école Polytechnique）。期間，他選修了物理學(xué)家安德烈·安培（André-Marie Ampère，1775-1836）的分析與力學(xué)課程以及數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·讓-阿拉戈（D. Fran?ois Jean Arago，1786-1853）的數(shù)學(xué)課程。在那里，劉維爾還受到數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）的極大影響。

1827年11月，劉維爾轉(zhuǎn)入國立橋梁與公路學(xué)校（école Nationale des Ponts et Chaussées）并于1831年獲得學(xué)士學(xué)位。畢業(yè)后，他辭去了在伊澤爾?。↖sère）的工程師職務(wù)，希望能找到一份大學(xué)教職，以便專心從事他十分有興趣的學(xué)術(shù)研究。

1830年，劉維爾給《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年鑒》（Annales de Mathé matiques Pures et Appliquées）投去了他的第一篇數(shù)學(xué)論文。很快，他收到了主編約瑟夫·杰貢（Joseph Diez Gergonne，1771-1859）的回復(fù)：“我不想質(zhì)疑劉維爾先生的數(shù)學(xué)能力。但如果這種能力沒有與組織材料的藝術(shù)以及寫作出可閱讀、可理解、可欣賞的作品的藝術(shù)相伴，那它有什么意義呢？不幸的是，如今有太多的年輕人，盡管在其他方面都極有才華，卻將這種藝術(shù)視為一種不重要的附屬品。但是，我認為這種藝術(shù)才是最重要的、最卓越的；如果沒有它，其他一切都將毫無價值?！眲⒕S爾開始明白，原來數(shù)學(xué)論文的寫作和它報告的數(shù)學(xué)結(jié)果同等重要。

1831年11月，劉維爾被巴黎綜合理工學(xué)院聘用，為天文學(xué)家克勞德-路易·馬太（Claude-Louis Mathieu，1783-1875）講授的分析與力學(xué)課程擔(dān)任助教，從此開始了近半個世紀(jì)的教學(xué)和研究生涯。開始時，劉維爾的工作是十分艱苦的，他每周有34小時的授課任務(wù)，而且通常還包括星期天早上8點開始的課程。

1833-1838年間，劉維爾在巴黎中央高等工藝制造學(xué)校（école Centrale des Arts et Manufactures de Paris）講授數(shù)學(xué)和力學(xué)。期間，他于1836年完成了博士學(xué)位，導(dǎo)師是數(shù)學(xué)家西蒙·泊松（Siméon Denis Poisson，1781-1840），論文題目為“關(guān)于函數(shù)或其部分的正弦與余弦級數(shù)展開” (Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries de sinus et de cosinus)，探討了傅里葉級數(shù)及其在力學(xué)和物理學(xué)問題中的應(yīng)用。幾年間，他向巴黎科學(xué)院提交了多篇論文，涉及電動力學(xué)、偏微分方程和熱的數(shù)學(xué)理論。

1836年1月，劉維爾創(chuàng)辦了《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（Journal de matématiques pures et appliquées）月刊并擔(dān)任主編。他在雜志第一期14-32頁上發(fā)表了自己博士論文的主要成果。他親自主持了雜志前39卷的編輯出版工作，至1874年止。雜志出版社則幾經(jīng)轉(zhuǎn)換，目前在愛思唯爾（Elsevier）公司旗下。這本雜志刊登純粹及應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域所有分支的論文，記錄了19世紀(jì)中期約40年間歐洲數(shù)學(xué)研究的部分重要內(nèi)容。該雜志當(dāng)年聲譽極高，被稱為“劉維爾雜志”（Journal de Liouville）。

任職雜志主編期間，劉維爾與一些主流數(shù)學(xué)家保持著密切聯(lián)系，經(jīng)常和他們討論數(shù)學(xué)問題并發(fā)表他們的研究成果。1832年初，他收到了年輕人埃瓦里斯特·伽羅華（évariste Galois，1811-1832）用群論解決代數(shù)方程求解問題的文章后，便立即進行了審編。同年5月，伽羅華在一次決斗中被殺。之后，劉維爾細心地整理了他的遺稿并于1846年在雜志上以伽羅華的名義正式發(fā)表。該論文引起了極其廣泛的關(guān)注，并成為了抽象代數(shù)學(xué)的起點。

1838年，劉維爾轉(zhuǎn)到巴黎綜合理工學(xué)院，替代克勞德-路易·馬太成為分析與力學(xué)課程的講席教授。他在那里工作到1841年，然后加入法蘭西學(xué)院（L'Institut de France）任數(shù)學(xué)講席教授。期間，1839年，劉維爾被選為巴黎科學(xué)院天文學(xué)部院士。1840年，他接替剛?cè)ナ赖奈髅伞げ此蓳?dān)任國家標(biāo)準(zhǔn)計量局（Bureau des Longitudes）委員。

之后，劉維爾的學(xué)術(shù)研究因參與政治活動而有所中斷。

1843年，法蘭西學(xué)院數(shù)學(xué)家西爾維斯特·拉克魯瓦（Sylvestre F. Lacroix，1765-1843）去世，劉維爾申請繼任。但是，經(jīng)過激烈的競爭后，意大利籍?dāng)?shù)學(xué)家古列爾莫·利布里（Guglielmo Libri，1803-1869）獲勝。劉維爾憤憤不平，隨即辭去了法蘭西學(xué)院的教職。后來，和拉克魯瓦生前一樣，劉維爾也成了利布里的對頭人，兩人多年里甚至在科學(xué)院許多會議上常?；ハ喙?。事實上，除利布里之外，劉維爾還跟數(shù)學(xué)家約瑟夫·塞雷特（Joseph Alfred Serret，1819-1885）、天文學(xué)家菲利普·杜爾塞（Philippe Gustave Doulcet，1795-1874）以及因計算出海王星的存在而聞名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家烏爾班·勒維耶（Urbain J. J. Le Verrier，1811-1877）等人都有過許多爭執(zhí)，其中爭論的焦點涉及數(shù)學(xué)有效性、方法論、重要性、嚴(yán)謹(jǐn)性、清晰度、美學(xué)、抄襲、優(yōu)先權(quán)等問題。

1848年，劉維爾在好朋友數(shù)學(xué)家及政治活動家讓-阿拉戈的鼓勵下參加競選制憲議會（Constituting Assembly）議員。他成功獲選，成為默爾特（Meurthe）行政區(qū)的代表之一。但次年5月，他參加競選國會議員失敗，政治生涯遂告結(jié)束。

1848年，法國發(fā)生“二月革命”，推翻了國王路易-菲利普一世（Louis Philippe I，1773-1850），建立了法蘭西第二共和國。這時，利布里逃離法國去了倫敦。不過他并非出于政治原因，而是為了逃避因盜竊珍貴書籍和手稿而被法庭判處入獄的懲罰。利布里最后病逝意大利。利布里離開后，他在法蘭西學(xué)院的教席空缺。1850年，劉維爾和柯西爭奪該職位。在激烈競爭之后，劉維爾獲選，并于1851年重新回到法蘭西學(xué)院任職數(shù)學(xué)講席教授，工作至1879年。

在法蘭西學(xué)院，劉維爾的教學(xué)工作相當(dāng)自由，有很多時間展開自己的數(shù)學(xué)研究并廣泛參與學(xué)術(shù)交流活動。在這期間眾多往來學(xué)者之中，德國數(shù)學(xué)家古斯塔夫·狄利克雷（Gustav L. Dirichlet，1805-1859）是劉維爾最要好的一位朋友。狄利克雷英年早逝讓劉維爾一度極其痛苦悲傷。

1851年，劉維爾當(dāng)選為瑞典皇家科學(xué)院外籍院士。1853年，他被選為美國哲學(xué)學(xué)會會士。1857年，他當(dāng)選為法國科學(xué)院機械部主任。

劉維爾在1874年退出他創(chuàng)辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》的編輯工作之后，便不再發(fā)表論文著作，也極少參加學(xué)術(shù)活動，直至1882年9月8日在巴黎去世。

劉維爾一生勤于學(xué)術(shù)研究和教學(xué)工作，除了經(jīng)歷過一段政治生涯之外，他的個人生活淡泊寧靜。他在1830年與表親瑪麗-路易絲·巴朗（Marie-Louise Balland）結(jié)婚，兩人有三女一子。劉維爾去世后，月球上一座環(huán)形山以他的名字命名，以示永恒銘記。

02
貢獻

劉維爾的數(shù)學(xué)研究范圍非常廣泛，涵蓋純數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理和天文學(xué)。

圖2約瑟夫·劉維爾紀(jì)念郵票

1830年，劉維爾開始研究電磁學(xué)和熱學(xué)理論。他的研究推動了今天被稱為分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。微分在通常情況下是整數(shù)階的，非整數(shù)階微分的概念第一次出現(xiàn)在1695年德國數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茲（Gottfried W. Leibniz，1646-1716）寫給法國數(shù)學(xué)家紀(jì)堯姆·德·洛必達（Guillaume F. A. Marquis de l'H?pital，1661-1704）的書信中。分?jǐn)?shù)微積分運算則是首先出現(xiàn)在挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802-1829）的早期論文里。劉維爾于1832-1837年間發(fā)表了一系列論文，引進了任意階微分算子的概念，讓它可以是有理數(shù)、無理數(shù)，甚至還可以是復(fù)數(shù)。目前常用的是分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階積分，包括劉維爾導(dǎo)數(shù)以及他和德國數(shù)學(xué)家格奧爾格·黎曼（Georg F. B. Riemann，1826-1866）聯(lián)名的黎曼-劉維爾積分。

1832-1833年間，劉維爾對基本初等函數(shù)進行了分類，劃分為今天周知的常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。他研究了代數(shù)函數(shù)積分的代數(shù)準(zhǔn)則，并通過四篇論文的論述確立了這個準(zhǔn)則，繼而研究代數(shù)函數(shù)有限項積分的問題。他的工作最初獨立于阿貝爾，后來借鑒了阿貝爾的工作并將其思想融入到自己關(guān)于橢圓積分和橢圓函數(shù)的研究中。

1829-1837年間，瑞士籍?dāng)?shù)學(xué)家查爾斯·斯圖姆（J. Charles F. Sturm，1803-1855）和劉維爾分別并合作研究了一般線性二階微分方程，考察了它們的特征值性質(zhì)、特征函數(shù)行為以及任意函數(shù)關(guān)于這些特征函數(shù)的級數(shù)展開。他們在1837年發(fā)表在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》的合作論文里建立了施圖姆-劉維爾定理（Sturm–Liouville Theorem），將一個函數(shù)展開為一類正交函數(shù)集所構(gòu)成的級數(shù)，為求解微分方程和積分方程提供了一種行之有效的普適方法。在微分方程和積分方程領(lǐng)域，劉維爾特別研究了邊界值問題并作出了奠基性的貢獻。

1833-1841年間，劉維爾研究了初等函數(shù)的不定積分是否可表示為初等函數(shù)形式的一系列問題。其中，他關(guān)于原函數(shù)的概念是指我們對之做微分的、原來的那個函數(shù)，而做不定積分就是求原函數(shù)。劉維爾證明了：一個初等函數(shù)如果有初等的原函數(shù)，那么該原函數(shù)一定能寫成同一個微分域的函數(shù)加上有限個該域上函數(shù)的對數(shù)的線性組合；否則，這個初等函數(shù)便沒有初等原函數(shù)。例如，高斯分布函數(shù)e-x2的原函數(shù)就無法用初等函數(shù)表示出來。

1834年，劉維爾通過研究一個流體動力學(xué)問題開始接觸天體力學(xué)。期間，他試圖尋找繞軸旋轉(zhuǎn)的均勻流體的平衡曲面。他證明了，利用法國數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827）的一個公式，可以證明德國數(shù)學(xué)家卡爾·雅可比（Carl G. J. Jacobi，1804-1851）關(guān)于不等軸橢球面平衡圖形的存在性定理。1839-1855年間，劉維爾多次研究了這個主題，證實了拉普拉斯方法的有效性，也展示了這些新方法的強大威力。1836-1842年間，他撰寫了一系列關(guān)于經(jīng)典天體力學(xué)的論文，論及攝動、長期變化以及橢圓函數(shù)的應(yīng)用。

1838-1850年間，劉維爾對研究共形變換的微分幾何做出了重要貢獻。他證明了關(guān)于哈密頓（William Rowan Hamilton，1805-1865）動力學(xué)測度不變性的重要定理，該結(jié)果對統(tǒng)計力學(xué)和測度論具有根本性意義。在哈密頓動力學(xué)中，劉維爾引入了作用-角變量的概念，作為完全可積系統(tǒng)的描述。該概念的現(xiàn)代表述也稱為劉維爾-阿諾德（Vladimir I. Arnold，1937-2010）定理，而可積性的基本概念被稱為劉維爾可積性。1846-1849年間，劉維爾受哈密頓和雅可比著作的影響，試圖建立質(zhì)點動力學(xué)理論。1855-1856年，他重新回歸該主題的研究，發(fā)表了兩篇關(guān)于動力學(xué)微分方程和一篇關(guān)于最小作用量原理及其應(yīng)用的重要筆記。

在幾何學(xué)方面，劉維爾分別于1841年和1844年用消去法證明并推廣了法國數(shù)學(xué)家米歇爾·沙勒（Michel F. Chasles，1793-1880）建立的曲線和曲面的度量性質(zhì)。他還發(fā)展了一種新方法，可以用來確定任意橢圓曲面的測地線，那是雅可比在研究雙曲超越數(shù)時引出的問題。1850年，劉維爾負責(zé)出版法國數(shù)學(xué)家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge，1746-1818）的著作《分析在幾何學(xué)中的應(yīng)用》第5版，并在書末附上了德國數(shù)學(xué)家卡爾·高斯（J. Carl F. Gauss，1777-1855）的著名文章“關(guān)于曲面的一般研究”以及他自己寫的7篇注記。這些注記論及曲線及其相對曲率和測地曲率、測地線方程、總曲率等概念和應(yīng)用。

1842年，劉維爾開始閱讀伽羅華用群論解決代數(shù)方程求解問題的論文稿件。1843年9月，他向巴黎科學(xué)院宣布，他在伽羅華的工作中發(fā)現(xiàn)了深刻的成果，并承諾將伽羅華的論文連同他自己的評論一起發(fā)表。1846年，他在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了這項工作，讓伽羅華的工作引起了廣泛關(guān)注并產(chǎn)生了重大影響。然而，不太清楚為什么他拖延了三年才發(fā)表這篇論文，而且沒有附上自己的評論。不過，他確實在其他地方寫過一篇評論，并填補了伽羅華證明中的不足之處。此外，劉維爾還講授過伽羅華的工作，據(jù)說塞雷特以及約瑟夫·伯特蘭（Joseph L. F. Bertrand，1822-1900）和查理斯·埃爾米特（Charles Hermite，1822-1901）都修讀或接觸過他的這門課程。這樣，劉維爾實質(zhì)上參與了推動近世代數(shù)學(xué)和群論發(fā)展的早期工作。

1844-1851年間，劉維爾在數(shù)論領(lǐng)域撰寫了18篇系列注記和近200篇短篇注記，研究費馬猜想、二次互反律和許多其他主題，例如揭示特定形式的素數(shù)及其乘積的某些性質(zhì)以及通過二次形式確定任意整數(shù)的不同表示。劉維爾最重要的一個貢獻是引進了超越數(shù)。劉維爾的興趣源自閱讀普魯士裔數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）和荷蘭裔瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli，1700-1782）之間的通信。1844年，劉維爾證明了超越數(shù)的存在，并利用連分?jǐn)?shù)構(gòu)造了無限個這樣的數(shù)類。1851年，他發(fā)表了關(guān)于超越數(shù)的新成果，消除了對連分?jǐn)?shù)的依賴。他特別給出了一個有趣的超越數(shù)例子，后來被稱為“劉維爾數(shù)”：

劉維爾一生發(fā)表了400多篇論文，其中除數(shù)學(xué)論文之外還包括少量涉及熱學(xué)、電學(xué)、天體力學(xué)和理論力學(xué)等問題的文章。最后，我們試圖對劉維爾做出某些公正的歷史評價：劉維爾在很大程度上引進或預(yù)示了一些通常被歸功于后人的重要概念，例如他關(guān)于微分方程系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念和結(jié)果，在40年后被法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）和俄國數(shù)學(xué)家亞歷山大·李亞普諾夫（Aleksandr M. Lyapunov，1857-1918）獨立地重新發(fā)現(xiàn)；他在首次發(fā)表的常微分方程解的存在性證明中，已經(jīng)使用了后來被歸功于法國數(shù)學(xué)家埃米爾·皮卡（Charles émile Picard，1856-1941）的逐次逼近法。

圖3約瑟夫·劉維爾傳記

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