《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 014

014.卡米查爾數(shù)

卡米查爾數(shù)（Carmichael number）是指一類特殊的合數(shù)，它們必須滿足以下條件：這些數(shù)都是正整數(shù)，并且可以表示為三個(gè)不同素?cái)?shù)的乘積，其中每個(gè)素?cái)?shù)都只出現(xiàn)一次，即不包含任何素?cái)?shù)的平方或更高次冪。

用數(shù)學(xué)公式來表示，即設(shè) Nh 為一個(gè)合數(shù)，它可以被分解為三個(gè)互不相同的素?cái)?shù) p、q、r 的乘積，寫作 Nh = p × q × r。

舉例來說，561 就是一個(gè)典型的卡米查爾數(shù)，因?yàn)?561 = 3 × 11 × 17，這三個(gè)因數(shù)都是素?cái)?shù)，并且互不相同。

盡管這類數(shù)已經(jīng)被數(shù)學(xué)家廣泛研究，但至今仍然存在一個(gè)懸而未決的重要問題：

在所有的正整數(shù)中，卡米查爾數(shù)是否無窮多？也就是說，是否存在著無限多個(gè)這樣的合數(shù)，它們都是三個(gè)不同素?cái)?shù)的乘積？這個(gè)問題在數(shù)論領(lǐng)域引起了持續(xù)的探討，但目前尚未有明確的結(jié)論。

看下圖，

從圖中我們可以觀察到，他們所提出的解決辦法，其核心理論基礎(chǔ)依然源自于經(jīng)典的素?cái)?shù)定理，并試圖通過由此推導(dǎo)出的相關(guān)公式來解決問題。然而，盡管他們付出了相當(dāng)?shù)呐Γ罱K卻未能成功地攻克這一難題?，F(xiàn)在，通過應(yīng)用Ltg-空理論中的N+1空間概念，我引入了一個(gè)新的解析框架。具體來說，利用表達(dá)式Nh =a(b+1) + b，就能夠以一種更為簡潔和直接的方式來回應(yīng)并解決這個(gè)問題。這一方法不僅擴(kuò)展了原有的思路，還提供了更強(qiáng)的理論支持與清晰的解決路徑。

使用N+1空間，下圖，

合數(shù)項(xiàng)公式的表達(dá)式為Nh = ab + a + b，

其中 a 和 b 是大于或等于 1 的正整數(shù)。

若在該公式的兩側(cè)同時(shí)加上 1，可以得到 H = Nh +1 = ab + a + b + 1。經(jīng)過整理，這一等式可以表示為：

H = (a+1)(b+1)

由于 a 和 b 的取值范圍是正整數(shù)，因此 a+1和 b+1 的取值分別為 2, 3, 4, 5, …，即覆蓋了所有大于等于 2 的正整數(shù)。

因此，H 總可以表示為兩個(gè)大于等于 2的正整數(shù)的乘積。這表明，H 總是一個(gè)合數(shù)，且可以分解為兩個(gè)因數(shù)的形式。

進(jìn)一步分析可知，由于 a 和 b 可以取任意正整數(shù)，因此 (a+1) 和 (b+1) 的乘積能夠生成無窮多個(gè)不同的合數(shù)。特別地，如果 a+1 和 b+1 本身是素?cái)?shù)，那么 H 是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積；如果其中一個(gè)是合數(shù)，那么 H 可能由更多素?cái)?shù)相乘得到。

事實(shí)上，由于素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，不僅存在無窮多個(gè)由三個(gè)素?cái)?shù)相乘得到的合數(shù)，還存在無窮多個(gè)由四個(gè)、五個(gè)、六個(gè)甚至更多素?cái)?shù)相乘構(gòu)成的合數(shù)。也就是說，對于任意大于等于 2 的整數(shù) k，都存在無窮多個(gè)合數(shù)可以表示為恰好 k 個(gè)素?cái)?shù)的乘積。這進(jìn)一步說明了合數(shù)在正整數(shù)中具有極其豐富的結(jié)構(gòu)和分布特性。

以上卡米查爾數(shù)問題已得證。

運(yùn)用Ltg-空間理論以及“合數(shù)項(xiàng)公式”對素?cái)?shù)分布規(guī)律進(jìn)行深入研究，在理論深度與適用范圍上均明顯優(yōu)于單純依賴素?cái)?shù)定理及其相關(guān)公式與理論體系。相較于素?cái)?shù)定理在宏觀層面提供的漸進(jìn)分布描述，Ltg-空間理論能夠從更高維度的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)出發(fā)，揭示素?cái)?shù)在數(shù)論體系中的內(nèi)在關(guān)聯(lián)與深層性質(zhì)，而“合數(shù)項(xiàng)公式”則進(jìn)一步提供了具有構(gòu)造性和可操作性的分析工具，能夠更精確地捕捉素?cái)?shù)分布的局部特征與異常行為。

因此，無論是從數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性、解釋能力還是實(shí)際應(yīng)用潛力來看，基于Ltg-空間與“合數(shù)項(xiàng)公式”的研究路徑都展現(xiàn)出更為強(qiáng)大的理論優(yōu)勢與分析效能。

本文特別感謝WPS AI的鼎力相助！

2025年11月8日星期六