本文是加拿大阿爾伯塔大學教授Katalin Bimbó對《證明的故事 | 邏輯和數(shù)學史》一書的書評。

書名：The Story of Proof | Logic and the History of Mathematics

中文譯名：證明的故事 | 從勾股定理到現(xiàn)代數(shù)學

中文版 By John Stillwell（約翰·史迪威） 人民郵電出版社, 2025, 共411頁。

書作者簡介

John Stillwell（約翰·史迪威）是舊金山大學數(shù)學名譽教授。他有許多著作包括《數(shù)學要素》（或譯為《數(shù)學原本》）Elements of Mathematics和《逆向數(shù)學》Reverse Mathematics。

書評者簡介

Katalin Bimbó是阿爾伯塔大學的哲學教授（參見其主頁[11]）

書評內(nèi)容

這本書最初標題是《數(shù)學如何運作》（How Mathematics Works）——正如我們從序言中所知。作者認為目前的標題不那么雄心勃勃。很難給這本非常獨特的書一個簡潔和描述性的標題，這篇評論的標題也沒有準確地描述內(nèi)容。證明對數(shù)學至關(guān)重要。然而，被接受為證明的東西在數(shù)學史上發(fā)生了變化。M.克萊因（M. Kline）[5]提到了著名數(shù)學家（例如西爾維斯特J. J. Sylvester）從錯誤假設中證明“定理”的例子。為了這本書，史迪威認為證明是一篇關(guān)于數(shù)學的論文或書中提出的，它被標記為“證明”，是一個正確的證明。例如，牛頓的冪級數(shù)逆方法在當時是一種啟發(fā)式論證（heuristic argument），而無嚴格理由。我猜史迪威關(guān)于證明的觀點會吸引許多讀者，因為它在形式化的證明（邏輯學家會認為是嚴格的證明）和揮手的論證（可能足以說服外行）之間取得了平衡。

在詳細介紹內(nèi)容之前，澄清本書的內(nèi)容不是什么可能會有所幫助。證明論（proof theory）的研究領(lǐng)域涉及形式化的證明，這些證明可以使用一種或另一種邏輯在一個或另一個證明系統(tǒng)中表達。這方面的一個示例問題是，切割規(guī)則（cut rule）在克林（S. C. Kleene）的一階直覺邏輯的矢列演算（sequent calculus）方法中是否被接受。這本書不是關(guān)于證明理論的，盡管提到了一個形式系統(tǒng)，讓人想起舒特（K. Schütte）的一階經(jīng)典邏輯矢列演算。史迪威的書不是數(shù)學史，而是歷史細節(jié)與數(shù)學內(nèi)容相輔相成。應該指出的是，任何想追隨文本中涉及的歷史的人都會在參考書目中找到大量參考文獻。這本書的標題也提到了邏輯，以及數(shù)理邏輯的一個分支涉及形式化的數(shù)學理論。希爾伯特（D. Hilbert）把對形式化理論的某些性質(zhì)（特別是一致性和可判定性）的研究稱為元數(shù)學（metamathematics）。史迪威給出了哥德爾不完備性定理的概要，然而，使用符號邏輯工具研究形式化數(shù)學理論（或研究形式邏輯系統(tǒng)）并不是本書的主題。

為了概述這本書的內(nèi)容是什么，我們可以說它描述了數(shù)學核心思想的發(fā)展及其聯(lián)系。史迪威特別關(guān)注一種新的證明方法何時出現(xiàn)，以及它是由于理論中的概念壓力而出現(xiàn)的，還是由于理論中的新發(fā)展而出現(xiàn)的。故事的線索貫穿于例子中，盡管并非所有的零碎證明都被標記和分類。它從處理無窮大所需的證明開始，以確保數(shù)學基礎(chǔ)穩(wěn)固并揭示著名定理的相對強度的證明結(jié)束。

這本書里有什么？

對數(shù)學的一個非常簡單的看法，是說數(shù)學是對數(shù)字和形狀的研究。當然，在21世紀，即使是高中生也可以舉出既不是關(guān)于數(shù)字也不是關(guān)于形狀的數(shù)學陳述或公式的例子，例如多項式函數(shù)導數(shù)的一般形式。但是，回顧古希臘思想家的工作，看到他們通過創(chuàng)建幾何理論和證明關(guān)于數(shù)字的定理，將數(shù)學從實用知識提升為一門學科是合理的。畢達哥拉斯定理（即勾股定理）是本書的自然起點；它允許引入有理數(shù)和無理數(shù)、畢達哥拉斯三元組和歐幾里得算法來求最大公約數(shù)（GCD）。史迪威將希臘人發(fā)明（演繹）證明背后的動機定位在“對無限的恐懼”中（或者說得不那么戲劇化，在于需要證明關(guān)于無窮大的陳述）。

歐幾里得《幾何原本》（Elements）的十個不證自明的陳述通常被翻譯為“公設”（postulate）和“共同概念”（common notion）。這些公理涉及該主題的不同方面，列出它們對于希望遵循歐幾里得命題4和5相當非正式的證明的讀者很有幫助?？梢姽砜梢宰屛覀兏菀桌斫鉃槭裁磾?shù)學家試圖從其余公理中推導出第五公設（P5）。歐幾里得對有無窮多個素數(shù)的證明的介紹是一個很好的借口，可以引入歸納法作為證明技術(shù)，并提及諸如完美數(shù)（perfect number）、素數(shù)分解（prime factorization）、梅森素數(shù)（Mersenne prime）和幾何級數(shù)（geometric series）等概念。

下一章跳到希爾伯特從1899年開始的幾何公理化。史迪威并行給出了幾何公理和全序域（complete ordered field）的公理化，從而描述了實數(shù)的兩個范疇形式化（categorical formalization）。希爾伯特的幾何公理化超越了歐幾里得的幾何學，不僅填補了幾個空白（例如，帕施M. Pasch發(fā)現(xiàn)的那個帕施公理），而且通過擴展點的范圍，例如，在一個平面中，從可構(gòu)造點的集合到所有點?x,y?(x,y∈?)。透視素描和繪畫導致了對投影和例如帕普斯Pappus和德薩格Desargues定理的研究，——遠遠早于希爾伯特的公理系統(tǒng)。史迪威不僅陳述了后兩個定理，而且還列出了射影平面(projective plane)的公理化。

公元前3世紀阿基米德給出了π值的驚人準確的近似值（以分數(shù)表示）。但是代數(shù)在公元9世紀真正起飛，然后，它是由求解三次方程，四次方程和五次方程的需求推動的。多項式的符號以前是不存在的，在16世紀的卡爾達諾（H. Cardano）時代甚至沒有談論虛數(shù)。史迪威引用牛頓的話來說明100年左右的變化，即變量計算（calculation with variables）已成為獲得結(jié)果的公認方法。他繼續(xù)陳述并證明分解定理。戴德金（R. Dedekind）的維數(shù)定理應用于古希臘難題（稱為“立方倍積”doubling the cube）的數(shù)值公式，給出了不可能的證明。代數(shù)和幾何之間的相互作用通過射影幾何進一步說明。另一個不可能性證明表明沒有八元射影空間（octonion projective space），這是從八元數(shù)上的乘法運算的非結(jié)合性（nonassociativity）得出的。

代數(shù)幾何（Algebraic geometry）是16世紀和17世紀代數(shù)方法發(fā)展的延續(xù)，包括坐標系的引入。史迪威從圓錐截面（conic section）及其方程開始，他很快介紹了切線（tangent）、奇點（singularity）、多項式給出的曲線和非代數(shù)曲線（nonalgebraic curve）。他說明了斷言偶爾會有特殊的命運：牛頓陳述了所謂的貝祖定理（Bézout’s theorem），該定理后來通過允許復坐標（complex coordinates）、計算交點（intersection）的多重性（即重數(shù)，multiplicity）以及將曲線放置在射影空間中得到證明。泰勒斯定理（Thales’s theorem）也被證明，但證明是在實向量空間（ real vector space）中，這是由格拉斯曼（H. Grassmann）在19世紀引入的。

大多數(shù)讀者可能會熟悉第6章的內(nèi)容，因為它討論了微積分的起源。但有些人可能不知道調(diào)和級數(shù)（harmonic series）的發(fā)散性（divergence）是由奧雷姆（N. Oresme）在14世紀中葉證明的，或者一些數(shù)學家給出了π的無窮級數(shù)和無窮積的近似值，在1761年被蘭伯特（J. H. Lambert）證明是π是無理的（irrational）。史迪威設法解釋許多概念及其聯(lián)系，從通過計算斜率（slope）、面積（area）和體積（volume）的二項式系數(shù)（binomial coefficient）到無窮小（infinitesimal）。后者需要小心處理，羅賓遜（A. Robinson）在1960年代證明無窮小可以一致地添加到實數(shù)中。

第7章從歐幾里得的gcd算法、模算術(shù)（modular arithmetic）和畢達哥拉斯三元組（Pythagorean triples）開始，然后文字轉(zhuǎn)向圓（circle）和參數(shù)方程（parametric equation）上的有理點。費馬小定理和四次冪的費馬大定理（即FLT費馬最后定理）被證明。后者可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于多項式的證明，這反過來又導致曲線（curve）、橢圓積分（elliptic integral）和橢圓曲線（elliptic curve）的參數(shù)化（parameterization）。繼續(xù)進行復數(shù)和代數(shù)整數(shù)可分性（divisibility）的主題，擴展了素數(shù)的概念。庫默爾（E. Kummer）實現(xiàn)唯一素因數(shù)分解的決心導致了理想（ideal）的概念。后者是一組數(shù)字，它們可能被看作是與定義實數(shù)的戴德金分割（有理數(shù)域?中的）有關(guān)。理想（即余理論cotheory）成為格論（lattice theory）[1]中非常有用的對象。

代數(shù)基本定理及其證明有一個發(fā)人深省的傳奇故事。史迪威專門用了一小章來討論這個定理;他給出了這個定理的幾個版本，解釋說早期的證明嘗試（例如，高斯C. Gauss的）包含空白，填補空白產(chǎn)生了實數(shù)的定義。有了戴德金分割，我們得到了上確界定理（least upper bound theorem）和中值定理（intermediate value theorem）的快速證明。

術(shù)語“非歐幾何”（non-Euclidean geometry）通常是指曾經(jīng)試圖從歐幾里得的其他假設中推導出第五公設失敗后出現(xiàn)的幾何。史迪威已經(jīng)明確表示，射影幾何，至少在繪圖手冊和散射定理（scattered theorem）中，早于波爾約（J. Bolyai）和羅巴切夫斯基（N. Lobachevskiǐ）的工作。第9章專門討論非歐幾何，從球面幾何的處理開始。這是一個在整個公理系統(tǒng)出現(xiàn)之前（由于天文學和航海的實際需要）制定理論（非歐幾何）的零碎例子。球面具有恒定的正曲率，而歐幾里得平面的曲率為零。為了獲得具有恒定負曲率的物體（偽球面pseudosphere），引入了超越曲線（transcendental curve），即懸鏈線（catenary）和曳物線（tractrix）。

圖1.

三葉草（Trefoil）和結(jié)10???（有10個交點）。

下一章是關(guān)于拓撲學的，這可能會給人們帶來非常不同的圖像。結(jié)（來自紐結(jié)理論knot theory，見[4]）有一個可接近的一面，如圖1中的彩圖。但它們屬于現(xiàn)代數(shù)學領(lǐng)域，它說明了各個領(lǐng)域是如何聯(lián)系在一起的（雙關(guān)語?。Ｊ返贤懻摿?strong>賴德邁斯特移動（Reidemeister move，即同痕的三種初等變換）和一些結(jié)不變量，然后轉(zhuǎn)到圖論。

第11章回到實數(shù)的完備性，以及它如何促進極限（limit）和連續(xù)性（continuity）概念的發(fā)展。史迪威定義了連續(xù)性和一致連續(xù)性（uniform continuity）、收斂性（convergence）和一致收斂（uniform convergence），并給出了幾個定理的證明，如海涅-博雷爾（Heine–Borel）、連續(xù)函數(shù)（continuous function）的黎曼可積性（Riemann integrability）和極值定理（extreme value theorem）。其中一些將在本書后面作為定理在二階皮亞諾算術(shù)（second-order Peano arithmetic）的某些子系統(tǒng)中證明。

接下來的三章是一起的：首先，提出基礎(chǔ)集合論，然后通過策梅洛-弗蘭克爾集合論（Zermelo-Fraenkel Set Theory，ZF）的公理化重新審視公理化方法。最后，對選擇公理（axiom of choice，AC）進行了較詳細的討論。AC在數(shù)學中經(jīng)常被提及，這里描述了一些集合論等價物，如佐恩引理（Zorn’s lemma），良序原理（well-ordering principle），以及它的一些用途，如博爾扎諾-魏爾斯特拉斯定理（Bolzano–Weierstra? theorem），非勒貝格可測集（non-Lebesgue measurable set）的存在，以及豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基“悖論”（Hausdorff–Banach–Tarski paradox）。最后，提到了康托爾（G. Cantor）的連續(xù)統(tǒng)假設（continuum hypothesis），該假設獨立于ZFC（=ZF+AC），正如哥德爾（K. G?del）和科恩（P. Cohen）所證明的那樣。

最后兩章快速介紹了謂詞邏輯（predicate logic）和可計算性（computability），本書以算術(shù)和集合論的不完備性結(jié)束。謂詞邏輯證明在這里是某些樹（tree）；使用樹的更廣為人知的證明系統(tǒng)是分析圖（analytic tableaux）的方法，R. M. Smullyan [6]是經(jīng)典來源。計算有許多模型，從遞歸函數(shù)（recursive function）和組合邏輯（combinatory logic）到寄存器機（register machine）和斯科特模型（D. Scott model）。史迪威展示了圖靈機（Turing machine）的一個版本。不完備性定理的詳細證明相當冗長，例如G. Boolos和R. Jeffrey的說明[2]。史迪威將證明與希爾伯特的形式主義和布勞威爾的直覺主義一起勾勒出來，后者對可接受的數(shù)學證明有不同的描述。然后他轉(zhuǎn)向逆向數(shù)學（reverse mathematics），其目標是描繪二階算術(shù)的合理片段，并根據(jù)它們的證明強度將分析中的定理放入這些片段中。

圖2.

一張地圖的部分不完全和適當?shù)耐耆?色著色。

總之，本書包含多個證明，而沒有一個來自形式化的理論（在希爾伯特的意義上）。然而，史迪威強調(diào)了證明中的一些組件的名稱。最突出的步驟是窮竭法（method of exhaustion，即按例推理，reasoning by cases）和（弱數(shù)學的weak mathematical）歸納法（induction）。一種經(jīng)常使用但此處未標記的方法就是歸謬法（reduction to absurdity即通過矛盾證明proof by contradiction）。一些特定于數(shù)學推理的步驟包括重命名變量（這與λ-演算λ-calculus中變量的重命名不同）和領(lǐng)域之間的轉(zhuǎn)換（例如，用函數(shù)改寫費馬大定理）。此外，一些證明似乎使用類比推理（analogical reasoning，例如，古德斯坦定理Goodstein’s theorem的通常證明）。圖表的大量使用表明圖片對于某些證明至關(guān)重要。一個警示故事是肯普（A. Kempe）對四色定理（four-color theorem，4CT）的“證明”，其中“證明”和反例都是圖解性的（diagrammatic）。圖 2 顯示了從 Soifer 圖派生的肯普顏色交換算法的最小反例之一。

圖3.

庫爾特·哥德爾（Kurt G?del，1906-1978）

可以說，證明的故事始于歐幾里得時代。他的公理是不證自明的，因此演繹（deductive）方法為幾何學提供了堅實的基礎(chǔ)。隨著數(shù)學的進步，偶爾就像濺射的發(fā)動機產(chǎn)生煙霧而不是扭矩（或者更平淡地說，提供錯誤理由支持的虛假主張），不僅需要新的概念，而且數(shù)學語言和證明技術(shù)也必須澄清。將數(shù)學理論形式化的動力在20世紀中葉萎靡不振，部分原因是哥德爾定理[3]。然而，在過去50年左右的時間里，證明的總體故事似乎有了新的發(fā)展。四色定理（4CT）的證明只是指向計算機使用的例子之一。史迪威用了一小節(jié)來介紹使用計算機來檢查證明。也許，對證明助手、定理證明者和證明檢查器的探索，可能會導致數(shù)學領(lǐng)域的新一輪嚴格化，應該是整本書的主題。

一本適合許多讀者的書

這本書似乎是非常小心地制作的。雖然它沒有大量引用在線資源，但有一些網(wǎng)址提到了有價值的資源，例如O. Byrne對歐幾里得《幾何原本》前六本書的彩色圖畫渲染的在線版本以及結(jié)的一個圖集。

對于任何受過數(shù)學高等教育的人來說，這本書都是一本值得一讀的書，他們想看看一些核心思想是如何發(fā)展的，以及它們演變背后的驅(qū)動力是什么。沒有時間或耐心去理解證明中的每一個細節(jié)的讀者可以跳過它而不會失去對所涉及的概念的理解。對于教師來說，這本書可能是一個方便的來源，可以為一門課程增添一些歷史或?qū)Σ煌I(lǐng)域之間聯(lián)系的看法。毫無疑問，任何在書中涉及研究領(lǐng)域的人都可能會感到不高興，因為它沒有涵蓋任何研究專著或研究論文的詳細程度的主題。（在閱讀最后幾章時我可以證實這種感覺）。我想專家們將能夠克服這種看法，他們將享受并從對數(shù)學重要部分的更全面的觀點中受益。

參考資料

[1] Garrett Birkhoff, Lattice theory, 3rd ed., American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXV, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1967.

[2] George S. Boolos and Richard C. Jeffrey, Computability and logic, 3rd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

[3] Kurt G?del. über formal unentscheidbare S?tze der Principia mathematica und verwandter Systeme I. In Solomon Feferman, editor, Collected Works, volume I, pages 144–195. Oxford University Press, New York, NY, 1986.

[4] Louis H. Kauffman, Formal knot theory, Mathematical Notes, vol. 30, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1983.

[5] Morris Kline, Mathematics: The loss of certainty, Oxford University Press, New York, 1980.

[6] Raymond M. Smullyan, First-order logic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 43, Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1968.

[7] https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691234366/the-story-of-proof

[8] https://www.ams.org/journals/notices/202310/noti2793/noti2793.html

[9] https://doi.org/10.1090/noti2793

[10] https://mp.weixin.qq.com/s/RvVnyYALbHblELZ9_d2FLQ

[11] https://sites.ualberta.ca/~bimbo/

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