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2024年SLMath（西蒙斯·勞弗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所）駐所記者Siobhan Roberts（西沃恩·羅伯茨）采訪了參與研究所活動的研究人員，了解他們在數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域的經(jīng)歷。

她的第一位采訪對象（上圖左）是現(xiàn)任約翰·霍普金斯大學(xué)助理教授的趙子慧（北大2007級校友），她與羅伯茨一起談?wù)摿怂难芯恳约?024年秋季在SLMath的時光。

第二位采訪對象（上圖右）是，2024年秋季博士后研究員、現(xiàn)就職于丹麥哥本哈根大學(xué)的安娜基婭拉·皮貝洛（Annachiara Piubello），她暢談了用音樂詮釋數(shù)學(xué)的點滴。

作者：Siobhan Roberts（科學(xué)記者、《紐約時報》撰稿人、傳記作家）2025-4、5月

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-6-19

2025-04

與幾何分析學(xué)家趙子慧的對話

趙子慧，SLMath2024-2025年訪問學(xué)者，現(xiàn)任約翰·霍普金斯大學(xué)助理教授。

照片源：Siobhan Roberts

1月初，數(shù)學(xué)家趙子慧發(fā)了一條私信：

2025 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93

新年快樂！

她補(bǔ)充道：“可以更輕松地使用立方和公式計算這一點?！?/p>

趙子慧博士是巴爾的摩市約翰·霍普金斯大學(xué)的幾何分析學(xué)家兼助理教授，2024年秋季學(xué)期她在西蒙斯·勞弗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所（SLMath）學(xué)習(xí)?！疤厥鈳缀谓Y(jié)構(gòu)”和“曲率新前沿”等課程讓趙博士忙得不可開交，她的筆記本總是卷著，整齊地疊放在桌子上。她也會抽出時間討論一些更平凡瑣碎的問題，比如前面提到的“立方和公式”。

這個初等等式可以精確地表述如下：從13到n3這些整數(shù)的立方和等于從1到n的整數(shù)和的平方。這是趙博士最喜歡的公式。她有一件T恤，上面印著：

(1+···+n)2 = 13+···+n3

youtube.com/michaelpennmath

照片源：趙子慧

但趙博士很快指出，這個方程并非她唯一的最愛。因為，盡管它擁有算術(shù)上的優(yōu)雅，以及——顯而易見的——幾何上的奇思妙想，“但它與我的研究領(lǐng)域毫無關(guān)聯(lián)，”她說。

趙博士的研究重點是極小曲面——使面積最小化的幾何體，例如肥皂膜在金屬絲框架上閃閃發(fā)光的表面，無論這些框架是圓形、立方體還是螺旋形。在抽象領(lǐng)域，趙博士研究被稱為流形的曲面上的此類問題，以及它們光滑的規(guī)則性和不規(guī)則性——角、彎折、尖點，這些在技術(shù)上被稱為奇點。

在立方體的金屬絲框架內(nèi)，肥皂膜在角和邊處相接——幾何學(xué)家稱之為奇點。

照片源：David Katz

以下是與趙博士在SLMath和通過視頻會議進(jìn)行的對話，內(nèi)容涵蓋了平凡瑣碎和重要的事情，為了清晰起見，對話內(nèi)容經(jīng)過了濃縮和編輯。

你覺得立方和公式的什么地方吸引你？

它有兩個證明。

第一個是歸納證明。它非常簡單——簡單到我覺得它是個傻瓜式證明。公式的表述方式讓如何證明顯而易見。但在這個過程中，你不會獲得任何直覺，也不會學(xué)到任何關(guān)于如何發(fā)現(xiàn)這種等式的知識。

然后有一個巧妙的幾何證明，它更加優(yōu)雅，也更出人意料。它運(yùn)用了正方形的堆疊：一個數(shù)的平方對應(yīng)一個正方形的面積，一個數(shù)的立方對應(yīng)一個立方體的體積。從某種意義上說，這種證明更難獲得，但更有可能帶來新的發(fā)現(xiàn)。

尼科馬庫斯（Nicomachus）定理的無字證明（Gulley，2010）：前n個立方數(shù)之和等于第n個三角形數(shù)的平方，通過立方和公式的歸納證明。

圖源：Cmglee (CC BY-SA 3.0)

你喜歡數(shù)學(xué)的什么？

我喜歡永恒元素。古希臘數(shù)學(xué)家的觀察在兩千多年后依然正確。數(shù)學(xué)家使用的方法與其他科學(xué)有著根本的不同。它是抽象的，證明基于邏輯，因此它永遠(yuǎn)成立。

你為什么決定專攻極小曲面？

我對數(shù)學(xué)的興趣始于偏微分方程，比如熱傳導(dǎo)方程。無論你想描述咖啡與牛奶混合時的溫度變化，還是研究金屬棒的熱傳導(dǎo)，或者其他許多物理現(xiàn)象，它們都可以歸結(jié)為一個簡單的方程。從數(shù)學(xué)上來說，它非常簡單。這很酷。

那么偏微分方程（PDE）用途廣泛，功能強(qiáng)大，你如何描述它們？

有點神秘。一個簡單的東西竟然能引發(fā)如此豐富的特性或現(xiàn)象。

什么將PDE與幾何對象和極小曲面聯(lián)系起來？

如果我的極小曲面非常漂亮且光滑，那么它就滿足某些 PDE，因此分析該P(yáng)DE的解有助于我們預(yù)測極小曲面的形狀。

在SLMath 2024年秋季課程中，大家對一個偏微分方程進(jìn)行了大量的討論：里奇流方程。它是熱方程的一種幾何類比。

沒錯。對于熱量，假設(shè)你的空間中有一個熱點，溫度非常高。熱方程描述了熱能如何擴(kuò)散，因此隨著時間的推移，空間中的溫度會變得更加均勻。類似地，流形中可能有一個曲率非常高的點。里奇流方程會擴(kuò)散曲率，因此流形的形狀會變得越來越均勻——就像把粘土捏成圓形一樣。

你有最喜歡的偏微分方程嗎？

我不這么認(rèn)為——我不會偏愛。因為不同的偏微分方程描述的是不同的物理現(xiàn)象。這取決于你感興趣的對象。我研究的是極小曲面的規(guī)律性，所以我通常研究一種特定類型的偏微分方程，稱為橢圓型偏微分方程——本質(zhì)上是不包含時間的熱方程，或者說平衡狀態(tài)下的熱擴(kuò)散方程。

研究規(guī)律的方法是什么？

這聽起來可能有點矛盾，但要研究規(guī)律性，你必須充分理解不規(guī)則性，理解奇點。這樣你才能知道自己面臨的障礙是什么。

這聽起來有點像“了解你的敵人”。

是的，沒錯。例如，如果你知道極小曲面上可能出現(xiàn)哪些奇點，你就可以分析奇點的鄰域，看看有多少個其他奇點可以共存。這可以估算奇點的大小，或者找到擾動奇點的策略。

粗略地說，我們用放大鏡放大奇點的地方，看看附近的極小曲面是什么樣子的。

事實證明，如果仔細(xì)觀察，所有奇點看起來都像圓錐體。因此，問題變成了：哪些可能的圓錐形狀可以最小化面積？對于這樣的圓錐體，我們能否在放大鏡下恢復(fù)出與該圓錐體相似的極小曲面的形狀？這就是理解極小曲面所有可能奇點的路線圖。

類似地，當(dāng)我們在谷歌地圖這樣的導(dǎo)航應(yīng)用上查看彎曲的道路時，我們很自然地會首先將視角傾斜到道路的方向——這條直線起著與圓錐體相同的作用——然后再觀察彎曲的道路與這條直線的偏差程度。道路上可能會出現(xiàn)一些奇點，在那里會急轉(zhuǎn)彎——在這種情況下，道路的方向不再是直線，而是一個帶有轉(zhuǎn)彎角度的圓錐體。

極小曲面研究的動機(jī)是什么？

極小曲面除了作為肥皂膜自然形成的物體外，在數(shù)學(xué)中也發(fā)揮著重要的作用，可以作為研究幾何學(xué)的手段。假設(shè)我們想理解一個四維曲面的幾何結(jié)構(gòu)。我們無法直接將其可視化，但可以使用極小曲面將其切割成低維曲面。

將其向下轉(zhuǎn)換一個維度使其更可及，因此你可以收集更多信息？

沒錯。想象一下，你有一個形狀奇特的百吉餅，一面很厚，另一面很薄。爬在百吉餅上的螞蟻如何辨別周圍宇宙的形狀？它可以沿著百吉餅切一圈，將其切成圓形。螞蟻可以通過測量圓形的周長來判斷百吉餅的薄厚。在高維空間中，極小曲面就扮演著這些圓形的角色。

這些事情的想法是否在你的夢中出現(xiàn)過？

可能不會。我不在睡前做數(shù)學(xué)題。否則我的大腦會過于活躍，很難入睡。我走動的時候確實會有靈感，這通常非常高效。坐在書桌前，我只會專注于一個特定的目標(biāo)。但當(dāng)我四處走動，讓思緒自由探索時，新的想法似乎會更自由地涌現(xiàn)。

2025-05

采訪數(shù)學(xué)家 Annachiara Piubello

安娜基婭拉·皮貝洛（Annachiara Piubello）2024年秋季博士后研究員、現(xiàn)就職于丹麥哥本哈根大學(xué)。

照片源：Aaron Fagerstrom

對皮貝洛來說，創(chuàng)造性的幸福存在于謎題、音樂和數(shù)學(xué)的交匯處。

皮貝洛博士每天以一系列的謎題開始新的一天。她喜歡快速解題——額外的壓力讓解題過程更加有趣。

在一天中的休息時間——比如在進(jìn)行硬證明的過程中——皮貝洛博士可能會擠出時間玩玩機(jī)械拼圖，或者進(jìn)行其他動手挑戰(zhàn)，比如搭建樂高熊貓。

照片源：Annachiara Piubello

皮貝洛博士從小就喜歡音樂。她的父親是一位巴洛克音樂家（擅長管風(fēng)琴和羽管鍵琴），他們經(jīng)常一起演奏——她最喜歡的曲子之一是帕赫貝爾的《D大調(diào)卡農(nóng)》，但她也喜歡維瓦爾第和科雷利。“我通常更喜歡快節(jié)奏的音樂，比如快板，”皮貝洛博士說。

最重要的是，音樂讓她進(jìn)入了數(shù)學(xué)的世界。“我整天都在聽音樂，”皮貝洛博士說?！拔铱偸谴髦鷻C(jī)。”

皮貝洛博士的播放列表 https://youtu.be/r_jkL6FIbUQ?list=PLcq2NntO2v655BuGtaq47bU5vMFTQYG2T

• 賈科莫·普契尼 Giacomo Puccini - 《奇妙的和諧 Recondita armonia》 （特別是無歌詞的器樂版）

• 朱塞佩·威爾第 Giuseppe Verdi - 《阿依達(dá)前奏曲 Aida preludio》

• 雅克·奧芬巴赫 Jacques Offenbach - 《船歌 Barcarolle》（美麗的夜晚，哦，愛的夜晚 Belle nuit, ? nuit d'amour）

• 恩雅 Enya - 《中國玫瑰 China Roses》

• 泰勒·斯威夫特 Taylor Swift - 《我的眼淚彈跳 My Tears Ricochet》

她從七歲起學(xué)習(xí)小提琴，并在意大利音樂學(xué)院學(xué)習(xí)了幾年。然而，她很早就表明了自己想成為一名數(shù)學(xué)老師的意愿，并參加了意大利數(shù)學(xué)奧林匹克競賽。雖然奧林匹克競賽的賽道明確地與謎題有關(guān)，但她在和聲音樂課程中發(fā)現(xiàn)了類似的智力挑戰(zhàn)。

這門課程涉及創(chuàng)作巴赫的眾贊歌：提供低音，練習(xí)是在低音部分創(chuàng)作合唱?！斑@就像做數(shù)學(xué)題，”皮貝洛博士說?！斑@就像一個你必須解決的小謎題。你有規(guī)則，希望東西漂亮而有一致性。這就像寫證明。你不只是想走到最后。你想以一種真正令人滿意和優(yōu)美的方式來完成它?！?/p>

作為西蒙斯·勞弗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所2024年秋季學(xué)期的成員，皮貝洛博士在五分鐘的快速報告環(huán)節(jié)中簡要介紹了她的研究成果。幾周后，她就該主題舉辦了一場完整的研討會，詳細(xì)闡述了“基于STCMC葉狀結(jié)構(gòu)的漸近歐幾里得坐標(biāo)的幾何選擇”（基于與Olivia Vi?ánek Martínez的合作項目）。

“這個標(biāo)題相當(dāng)復(fù)雜，”她一開始就承認(rèn)道?！?strong>STCMC”是時空常數(shù)平均曲率（spacetime constant mean curvature），它描述了一個曲面在時空（也就是我們的宇宙）中如何彎曲或卷曲，以及平均而言，曲面是向外彎曲、向內(nèi)彎曲還是介于兩者之間。

以下與皮貝洛博士的對話梳理了她研究中的一些關(guān)鍵思想。對話通過視頻會議進(jìn)行，為了清晰起見，記錄內(nèi)容已進(jìn)行精簡和編輯。

總體來說，你的研究是什么？

我研究的是廣義相對論。它是純數(shù)學(xué)，但問題來自物理學(xué)——正是物理學(xué)激發(fā)了我的好奇心——從這個意義上來說，它是應(yīng)用數(shù)學(xué)，因為它不僅僅是為了數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)。

廣義相對論使用的數(shù)學(xué)語言是微分幾何。為了解釋它是什么，我告訴媽媽，我做的微積分不是平面的——而是帶曲率的微積分。比如，如果我從這里去北京，我不會走直線，因為我在一個球體——地球——上。那么，去那里最快的路線是什么呢？這就成了一個需要考慮曲率的問題。

你會追尋什么樣的問題？

在我的博士學(xué)位期間，我研究了質(zhì)量，以及如何定義質(zhì)量及其性質(zhì)。在廣義相對論中，質(zhì)量或多或少就是能量?，F(xiàn)在，我將重點轉(zhuǎn)移到了質(zhì)心，這與質(zhì)心相關(guān)，但這是一個更加微妙的問題。

質(zhì)量和能量與曲率之間有什么聯(lián)系？

愛因斯坦的廣義相對論是最成功、最優(yōu)美的科學(xué)理論之一，它告訴我們引力是物質(zhì)和能量導(dǎo)致時空彎曲的結(jié)果。因此，當(dāng)你將某種物質(zhì)或質(zhì)量放入四維時空（一個融合了三個空間維度和一個時間維度的數(shù)學(xué)模型）時，質(zhì)量會引入曲率。一個沒有任何東西的時空沒有曲率。一旦你開始引入物質(zhì)，就必須處理曲率。

作為一名博士后，你參與了一個名為“無限幾何”的多年項目，這聽起來很有趣。無限性是如何融入到這個項目中的呢？

這個名字非常適合我正在研究的東西。因為當(dāng)我說質(zhì)量和質(zhì)心時，所有這些概念都是在無窮遠(yuǎn)處定義的：我們想象一個模型，其中所有物質(zhì)都集中在一個致密的區(qū)域——例如恒星或黑洞。然后，我們離這個致密的中心越遠(yuǎn)，我們感受到的引力效應(yīng)就越小，因此我們的幾何形狀曲率就越小，變得越來越平坦。為了能夠描述什么是質(zhì)量或質(zhì)心，我們需要能夠描述無窮遠(yuǎn)處發(fā)生的幾何形狀。

無窮遠(yuǎn)處會發(fā)生什么？

對于質(zhì)心，我們有一些定義，但它們的表現(xiàn)并不像我們期望的那樣好。我一直在研究所謂的無窮遠(yuǎn)處葉狀結(jié)構(gòu)。它們提供了一種方法來獲得一些幾何條件，使事物的表現(xiàn)符合我們的期望。

什么是葉狀結(jié)構(gòu)？

葉狀結(jié)構(gòu)（foliations）是指一族覆蓋整個空間且互不重疊的表面?？紤]由球面構(gòu)成的無窮遠(yuǎn)處的葉狀結(jié)構(gòu)：想象一下，從一個球面開始，逐漸將其半徑增加到無窮大。所有這些球面組成的葉狀結(jié)構(gòu)共同構(gòu)成了空間的葉狀結(jié)構(gòu)。具體來說，我研究的是曲率恒定的球面葉狀結(jié)構(gòu)。

對于每個球面，如果你取其平均位置，就能得到球心的概念。最終，如果你對所有球面都進(jìn)行同樣的操作——它們不需要非常完美，有些球面可以稍微晃動——并使其無限遠(yuǎn)，就能得到質(zhì)心的定義。

皮貝洛博士專注于漸近歐氏流形的漸近STCMC葉狀結(jié)構(gòu)，即由時空常數(shù)平均曲率球面構(gòu)成的葉狀結(jié)構(gòu)。

圖片來自與Olivia Vi?ánek Martínez的合作研究。

有點像樹葉覆蓋？

是的。我們把每個曲面、每個球面稱為一片葉子。我觀察的是無窮遠(yuǎn)處的這種葉狀結(jié)構(gòu)——非常非常大的球面。它總是處于這樣的背景下：所有物質(zhì)和物理都位于我的流形的中心。我越往外走，物體就越扁平，我的球面就越圓。然后我們可以嘗試解讀一些沿著扁平球面的幾何形狀和坐標(biāo)。同樣，為了定義質(zhì)量，我們?nèi)o窮遠(yuǎn)處的大球面，然后沿著球面測量一些量，這就給出了質(zhì)量的概念。

你現(xiàn)在最關(guān)心的問題是什么？

我和丈夫Eric Ling以及另一位合作者羅德里戈·阿瓦洛斯（Rodrigo Avalos）正在合作一個項目，我們希望很快就能發(fā)表一篇論文。我先簡單描述一下：我們從宇宙學(xué)中知道，宇宙正在膨脹。但到目前為止，我們現(xiàn)有的質(zhì)量模型并沒有隨時間變化；這些模型沒有這些信息，它們彼此不兼容。如果我們能描述像大質(zhì)量恒星這樣的物質(zhì)，以及它如何隨時間演化，那將會非常有趣。

這正是我們試圖解答的問題。在SLMath的學(xué)期里，我們?nèi)〉昧撕艽筮M(jìn)展。有很多這個領(lǐng)域的專家，所以我們討論了彼此的想法，最終我們的項目真正成形了。

參考資料

https://www.slmath.org/news-and-events/scholar-spotlight-zihui-zhao

https://www.slmath.org/news-and-events/scholar-spotlight-annachiara-piubello

https://annualreports.simonsfoundation.org/2024/

https://msri-app-assets.s3.us-west-1.amazonaws.com/6m1d1e5j0yp3jztgwz8rav2pn5h0

https://zhaozh.xyz/Brace_for_anomalies_in_soap_bubbles.pdf

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