導(dǎo)讀：這是一篇相對(duì)專業(yè)的探討內(nèi)算與外算的文章，因此寫的略長(zhǎng)，盡量避開(kāi)太過(guò)專業(yè)的名詞，有興趣的可以繼續(xù)觀看。

上次，我們講到南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的《數(shù)術(shù)九章》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的一座豐碑。

與純粹探討理論的著作不同，

這本書(shū)從誕生之初就帶有強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)主義色彩。

秦九韶本人曾為官多年，

深知國(guó)家運(yùn)轉(zhuǎn)中的種種弊病：

從歷法失準(zhǔn)到賦役不均，從工程浪費(fèi)到軍需混亂。

在他看來(lái)，這一切亂象的根源，

很大程度上在于管理者缺乏“數(shù)術(shù)”知識(shí)，

無(wú)法進(jìn)行精確的計(jì)算和理性的規(guī)劃。

因此，他將《數(shù)術(shù)九章》全書(shū)分為九大類，

每一類都直面一個(gè)具體的社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。

而在每一章的開(kāi)篇，他都精心撰寫了一首序詩(shī)。

這些詩(shī)歌，并非簡(jiǎn)單的點(diǎn)綴，而是全書(shū)的“魂”。

它們的作用在于：

將具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，

提升到“道”、“天時(shí)”、“仁政”的哲學(xué)高度，

闡明數(shù)學(xué)是探究宇宙規(guī)律、輔佐國(guó)家治理的根本工具。

同時(shí)，毫不客氣地指出當(dāng)時(shí)官吏的無(wú)能與欺詐，

強(qiáng)調(diào)精準(zhǔn)計(jì)算對(duì)于實(shí)現(xiàn)社會(huì)公平、杜絕腐敗的重要性。

當(dāng)然，字里行間中，他也展現(xiàn)了中國(guó)本土數(shù)學(xué)方法的精妙與源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，

建立一種基于理性與科學(xué)的文化自信。

（實(shí)際上，據(jù)我從眾多古籍中搜集的證據(jù)了解，

同時(shí)期的西方并沒(méi)有數(shù)學(xué)，一直到宋末元初時(shí)期，

蒙古人掠奪了很多漢人工匠隨軍西征時(shí)，

才帶一些東西到西方。）

回到數(shù)術(shù)九章，

可以說(shuō)，這九首詩(shī)為冰冷的數(shù)學(xué)注入了熾熱的人文關(guān)懷與政治抱負(fù)。

讀懂了它們，才能真正理解秦九韶寫下這部巨著的最終目標(biāo)：

以數(shù)學(xué)為利器，匡時(shí)濟(jì)世。

下面講講這九首詩(shī)中的第一首。

述大衍第一

昆侖磅礴，道本虛一。圣有大衍，微寓于易。

奇余取策，群數(shù)皆捐。衍而究之，探隱知原。

數(shù)術(shù)之傳，以實(shí)為體。其書(shū)九章，惟茲弗紀(jì)。

歷家雖用，用而不知。小試經(jīng)世，姑推所為。

宇宙如昆侖山般磅礴，

而其本源的“道”是虛靜而歸于“一”的。

古代圣人創(chuàng)立了“大衍之術(shù)”，

其精深的道理蘊(yùn)含在《易經(jīng)》之中。

（大衍術(shù)）通過(guò)取不同的余數(shù)（奇余）來(lái)推算，

可以拋開(kāi)那些龐雜的（無(wú)法直接處理的）數(shù)字。

推演并深入研究它，

就能探究幽隱的奧秘，

知曉事物的本原。

自古流傳下來(lái)的數(shù)學(xué)著作（如《九章算術(shù)》），

都以解決實(shí)際問(wèn)題為核心。

但《九章算術(shù)》里，卻沒(méi)有記載這種（大衍）算法。

如今的歷法家們雖然也在使用這類方法，

但很多人只是機(jī)械套用，并不理解其根本原理。

我在此小試牛刀，

將它應(yīng)用于經(jīng)世濟(jì)民的實(shí)際問(wèn)題中，

姑且推演一番它的作用。

這首詩(shī)提出了全書(shū)最核心、最耀眼的數(shù)學(xué)成就，

大衍總數(shù)術(shù)（現(xiàn)代稱為“中國(guó)剩余定理”）。

這也是秦九韶頗為自豪的一件事。

秦九韶將他的算法與宇宙探源的哲學(xué)思想聯(lián)系起來(lái)。

大衍術(shù)正是從一堆看似無(wú)關(guān)的“余數(shù)”中，

反推出那個(gè)唯一的“本原數(shù)”。

這既是數(shù)學(xué)求解，也是哲學(xué)溯源。

大衍術(shù)的技術(shù)核心是指“奇余取策，群數(shù)皆捐”。

面對(duì)一個(gè)巨大而未知的總數(shù)，我們不需要知道它本身，

只需要知道它被不同數(shù)除所得到的“余數(shù)”，

就能反推出這個(gè)總數(shù)。

這是極其高明的化繁為簡(jiǎn)思想。

當(dāng)然，秦九韶在詩(shī)里寫道：

“歷家雖用，用而不知”，

直接批評(píng)了當(dāng)時(shí)的從業(yè)者缺乏理論深度，

只會(huì)依樣畫(huà)葫蘆。

同時(shí)，通過(guò)“《九章》弗紀(jì)”點(diǎn)明這是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重大補(bǔ)充和發(fā)展，

展現(xiàn)了強(qiáng)烈的創(chuàng)新自信。

這一章主要解決的是復(fù)雜的歷法計(jì)算、兵員點(diǎn)卯、財(cái)物計(jì)數(shù)等問(wèn)題。

也就是大衍術(shù)的應(yīng)用。

那么今天我用最通俗的語(yǔ)言來(lái)講講這個(gè)大衍術(shù)，

并理清楚其與易經(jīng)的關(guān)系。

有句話叫“韓信點(diǎn)兵，多多益善?！?/p>

為什么呢？

因?yàn)轫n信掌握了點(diǎn)兵的算法，

通過(guò)士兵報(bào)數(shù)立馬可以推算出當(dāng)前有多少人。

那么他是怎么做到的？

今天來(lái)解密下，這是和秦九韶的大衍求一術(shù)密切相關(guān)的問(wèn)題。

想象一下，你就是韓信，在清點(diǎn)士兵，

但人數(shù)太多，懶得一個(gè)個(gè)細(xì)數(shù)。

于是你命令他們：

“3人一排，最后剩下 2 人！”

“5人一排，最后剩下 3 人！”

“7人一排，最后剩下 2 人！”

問(wèn)題來(lái)了：至少有多少名士兵？

這個(gè)問(wèn)題出自南北朝的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，

原文是“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”

“大衍術(shù)”（中國(guó)剩余定理）就是為了完美解決這類問(wèn)題而生的。

它的核心目標(biāo)是：根據(jù)一個(gè)數(shù)被不同除數(shù)除所得到的余數(shù)，反推出這個(gè)數(shù)本身。

那么如何通過(guò)大衍術(shù)來(lái)“解題”呢？

《孫子算經(jīng)》里有一段像詩(shī)歌一樣的解法口訣：

“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一支，

七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。”

我們把它翻譯成現(xiàn)代的解題步驟，

來(lái)解決上面的將軍點(diǎn)兵問(wèn)題。

第一步：找到三個(gè)“神奇的數(shù)字”

這個(gè)算法最巧妙的地方，

是先找到三個(gè)“對(duì)別人沒(méi)影響，只對(duì)自己有用的”數(shù)字。

針對(duì)“除以3”：

我們要找一個(gè)數(shù)，它必須是5和7的公倍數(shù)（這樣除以5和7都余0，對(duì)它們沒(méi)影響），

同時(shí)，這個(gè)數(shù)除以3要余1。

5 × 7 = 35。但35 ÷ 3 = 11...余2，不行。

35的倍數(shù)里找：35 × 2 = 70。70 ÷ 3 = 23...余1。找到了！

這就是口訣里的“三人同行七十稀”。

針對(duì)“除以5”：

找一個(gè)數(shù)，它必須是3和7的公倍數(shù)，同時(shí)除以5要余1。

3 × 7 = 21。21 ÷ 5 = 4...余1。

一次就找到了！這就是“五樹(shù)梅花廿一支”。

針對(duì)“除以7”：

找一個(gè)數(shù)，它必須是3和5的公倍數(shù)，同時(shí)除以7要余1。

3 × 5 = 15。15 ÷ 7 = 2...余1。

也找到了！這就是“七子團(tuán)圓正半月”（半月即15天）。

我們現(xiàn)在有了三個(gè)“神奇數(shù)字”：70，21，15。

第二步：合體！

現(xiàn)在，把題目中給出的“余數(shù)”和我們找到的“神奇數(shù)字”乘起來(lái)，再相加。

（除以3的余數(shù) 2）×（它的神奇數(shù)字 70） = 140

（除以5的余數(shù) 3）×（它的神奇數(shù)字 21） = 63

（除以7的余數(shù) 2）×（它的神奇數(shù)字 15） = 30

把它們加起來(lái)：140 + 63 + 30 = 233。

第三步：做最后的“微調(diào)”

這個(gè)233已經(jīng)滿足了所有余數(shù)條件，

但可能不是最小的那個(gè)。

我們需要找到3、5、7的最小公倍數(shù)。

3 × 5 × 7 = 105。（這就是口訣里的“除百零五便得知”）

用233不斷減去105，直到得到一個(gè)最小的正整數(shù)：

233 - 105 = 128

128 - 105 = 23

答案揭曉：至少有23名士兵。可以驗(yàn)證一下：

23 ÷ 3 = 7...余2

23 ÷ 5 = 4...余3

23 ÷ 7 = 3...余2

完美符合！

因?yàn)檫@里不是專門的數(shù)學(xué)研討，所以就不給出完整的證明，

我們來(lái)說(shuō)說(shuō)它和易經(jīng)有什么關(guān)系。

最早的易經(jīng)起卦，

不是用銅錢或者數(shù)字直接起，

而是用蓍草來(lái)起，

起法也叫“大衍術(shù)”。

具體過(guò)程如下：

《易經(jīng)·系辭傳》里有句總綱：

“大衍之?dāng)?shù)五十，其用四十有九?！?/p>

目標(biāo)：我們要通過(guò)一個(gè)“游戲”，來(lái)得出六個(gè)數(shù)字中的一個(gè)（6, 7, 8, 或 9），這個(gè)數(shù)字代表卦象中的“一爻”。重復(fù)這個(gè)游戲六次，就能得到完整的六爻卦象。

游戲開(kāi)始（求第一爻）：

準(zhǔn)備階段：天地之始

拿出你的50根“蓍草”。

先抽出一根放在旁邊，永遠(yuǎn)不用。

這代表“太極”，是宇宙的本源，

它不動(dòng)，只是靜靜地看著一切發(fā)生。

所以，我們實(shí)際用來(lái)計(jì)算的，是剩下的49根。

這就是“其用四十有九”。

第一步：一分為二（象征陰陽(yáng)）

閉上眼睛，心無(wú)雜念，將這49根牙簽隨機(jī)分成左右兩堆。

第二步：天、地、人三才

從右手邊的那堆里，拿出一根，夾在你的左手小指和無(wú)名指之間。這根象征著“人”，位于天地之間。

第三步：以四計(jì)數(shù)（象征四季輪轉(zhuǎn)）

現(xiàn)在，開(kāi)始處理左手邊那堆。以4根為一組，不斷地?cái)?shù)，看看最后剩下幾根（可能剩1、2、3根，如果正好數(shù)完，就是剩下4根）。

把這些剩下的（1-4根）也夾在你的左手指縫里（比如無(wú)名指和中指間）。

接著，處理右手邊剩下那堆，同樣以4根為一組地?cái)?shù)，把最后剩下的（1-4根）也夾在左手指縫里（比如中指和食指間）。

得出第一次結(jié)果（一變）

現(xiàn)在，你手上夾著三小撮牙簽：最初從右邊拿的1根，左邊剩下的，右邊剩下的。

把這三小撮合在一起，數(shù)一下總數(shù)。你會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)字必定是5或者9。

把這一小堆（5或9根）放到旁邊，把桌上那些被4整除的大部隊(duì)收攏起來(lái)。桌上現(xiàn)在應(yīng)該剩下44根（49-5）或40根（49-9）。

重復(fù)與演進(jìn)（二變與三變）

“二變”：把桌上剩下的牙簽（44或40根）拿起來(lái)，重復(fù)一遍第2、3、4步。即：隨機(jī)分兩堆—>從右堆拿1根夾著—>分別數(shù)兩堆4的余數(shù)—>把所有余數(shù)組合起來(lái)。這次，你手上夾著的總數(shù)必定是4或者8。

把這新湊的一小堆（4或8根）也放到旁邊，收攏桌上剩下的。

“三變”：把桌上再次剩下的牙簽?zāi)闷饋?lái)，再重復(fù)一遍第2、3、4步。這次手上夾著的總數(shù)也必定是4或者8。

揭曉最終密碼！

經(jīng)過(guò)了這三輪復(fù)雜的操作（稱為“三變”），桌上最后還剩下一些牙簽。

數(shù)一數(shù)它們有多少根。

這個(gè)數(shù)量必定是36、32、28、或24。

最后一步，把這個(gè)數(shù)字除以4！

36 ÷ 4 = 9 (稱為“老陽(yáng)”，是變爻)

32 ÷ 4 = 8 (稱為“少陰”，是靜爻)

28 ÷ 4 = 7 (稱為“少陽(yáng)”，是靜爻)

24 ÷ 4 = 6 (稱為“老陰”，是變爻)

恭喜！已經(jīng)通過(guò)“大衍術(shù)”得出了第一爻的數(shù)字（6、7、8、9之一）。然后，把全部49根牙簽收攏，從頭到尾再把這個(gè)極其復(fù)雜的過(guò)程重復(fù)五次，就能得到剩下的五爻，從而組成一個(gè)完整的卦象。

我們這里主要解釋下，

為什么第一次“一變”總是剩5或9？

我們有49根。49 = 48 + 1。

你先拿走1根（夾在小指），剩下48根。

你把48根分成左右兩堆（左+右=48）。

重點(diǎn)來(lái)了：48是4的倍數(shù)。

所以，左堆除以4的余數(shù)，加上右堆除以4的余數(shù)，其和也必然是4的倍數(shù)（只可能是4或8，不可能是0因?yàn)閮啥阎辽俣加?根）。

但實(shí)際操作是，你從右堆先拿了1根，所以實(shí)際數(shù)的是(左-1)。那么 左+ (右-1) = 47。再來(lái)數(shù)余數(shù)。左mod 4 + (右-1) mod 4。

mod是取余符號(hào)。

例如，如果左是9，右是40。

那么9 mod 4 = 1。(40-1) mod 4 = 39 mod 4 = 3。

收集到的余數(shù)就是 1 (掛一) + 1 (左余數(shù)) + 3 (右余數(shù)) = 5。

而經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)窮舉可以證明，無(wú)論你怎么分，1 + (左 mod 4) + ((右-1) mod 4) 的結(jié)果，只有5和9兩種可能。

第二次二變和第三次三變，

都依此類推。

說(shuō)到這里，我們?cè)賮?lái)回頭說(shuō)，

大衍求一術(shù)（中國(guó)剩余定理）和大衍術(shù)（卜蓍法），

具體有什么聯(lián)系。

這兩種看似完全不同領(lǐng)域的術(shù)法，

共同展現(xiàn)了古代中國(guó)數(shù)學(xué)思想中一個(gè)極其深刻的智慧：

通過(guò)“余數(shù)”來(lái)掌控“本體”。

而且它們都屬于構(gòu)造性的思維典范。

因?yàn)椋瑑烧叨疾皇峭ㄟ^(guò)暴力窮舉去尋找答案，

而是通過(guò)巧妙的步驟一步步地構(gòu)造出最終結(jié)果。

《易經(jīng)》通過(guò)三輪歸奇（收集余數(shù)），

將這些中間部件（每變拿走的蓍草數(shù)）從總數(shù)中剔除，

剩下的部分就是最終的結(jié)果。

中國(guó)剩余定理通過(guò)構(gòu)造幾個(gè)“基礎(chǔ)解”，

然后將它們線性疊加，最終構(gòu)造出總解。

不僅如此，它們都體現(xiàn)了“化繁為簡(jiǎn)”的降維思想。

處理一個(gè)大數(shù)字本身是很復(fù)雜的，

但處理它關(guān)于某個(gè)小數(shù)字的余數(shù)，就簡(jiǎn)單多了。

《易經(jīng)》不去直接處理49這么個(gè)數(shù)，

而是通過(guò)反復(fù)求它關(guān)于4的余數(shù)，來(lái)推動(dòng)整個(gè)過(guò)程。

中國(guó)剩余定理不去直接處理未知的巨大數(shù)字x，

而是分別研究它在3、5、7等小數(shù)世界里的“投影”（余數(shù)），

再把這些投影拼回原像。

所以，它倆都從模運(yùn)算出發(fā)，

一個(gè)流向了哲學(xué)和宇宙論的田野，

一個(gè)流向了純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用科學(xué)的江河。

這也是為什么古代數(shù)學(xué)家秦九韶一直到我這邊，

都在說(shuō)，內(nèi)算和外算密不可分，

因?yàn)樗鼈儽举|(zhì)的思想，

是直接相通的。

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