The Lee-Yang Theorem and applications

李-楊定理及其應(yīng)用

https://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/67410/1/TFG-Quera-Bofarull-Arnau.pdf

摘要：

我們介紹了李-楊理論，該理論將相變的研究與復(fù)逸度平面上零點(diǎn)的分布聯(lián)系起來(lái)。我們利用淺野（Asano）收縮法證明了李-楊定理，并將其應(yīng)用于一維與二維伊辛模型。我們還表明，李-楊形式體系可為超對(duì)稱理論中基態(tài)數(shù)目計(jì)數(shù)這一困難問(wèn)題提供一定啟示。

I. 引言
統(tǒng)計(jì)力學(xué)的誕生為我們提供了對(duì)諸多熱力學(xué)現(xiàn)象的力學(xué)解釋。它建立了微觀世界與宏觀世界之間的聯(lián)系，因而在物理學(xué)中具有根本性的重要意義。伊辛模型是研究相變理論最簡(jiǎn)單的模型。1924年，伊辛本人在其學(xué)位論文中證明：在一維情形下，只要溫度 ，系統(tǒng)不發(fā)生相變。二維模型則困難得多，直至1944年，昂薩格（Onsager）才證明：在無(wú)外加磁場(chǎng)時(shí)，正方格子上的伊辛鐵磁體在某一臨界溫度處會(huì)發(fā)生相變。時(shí)至今日，存在非零外磁場(chǎng)的二維伊辛模型仍屬未解問(wèn)題。

1952年，楊振寧與李政道發(fā)表了兩篇論文［3］與［4］，提出了一種理解相變的新視角。第一篇論文對(duì)應(yīng)本文的第一部分：我們?cè)诖私⒘讼嘧兣c巨正則系綜配分函數(shù)零點(diǎn)分布之間的聯(lián)系。第二部分聚焦于伊辛模型；我們采用淺野（Asano）在［5］中為海森堡模型引入的收縮方法（該方法的此處應(yīng)用歸功于［2］），證明了第二篇論文中提出的李-楊定理；并進(jìn)一步計(jì)算出復(fù)逸度平面上零點(diǎn)的顯式分布。在一維情形下，我們驗(yàn)證了伊辛的結(jié)論——即不存在相變；在二維情形下，我們得以確認(rèn)二維伊辛模型僅存在一個(gè)相變點(diǎn)，而這一結(jié)論在昂薩格的原始論文中并未被證明。

最后，我們進(jìn)一步探討李-楊理論的其他應(yīng)用，指出零點(diǎn)分布的研究對(duì)于超對(duì)稱量子理論中基態(tài)數(shù)目的計(jì)數(shù)問(wèn)題亦可發(fā)揮有趣而重要的作用。

II. 配分函數(shù)的零點(diǎn)

該極限的形式存在性并不明確。然而，李政道與楊振寧證明了兩個(gè)定理，從而保證在熱力學(xué)極限下，我們?nèi)钥苫謴?fù)預(yù)期的物理行為。

李-楊理論建立了相變研究與大正則配分函數(shù)在逸度復(fù)平面中零點(diǎn)分布之間的聯(lián)系。然而，這些分布的研究仍然是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題。在接下來(lái)的部分中，我們將討論一維和二維伊辛模型中零點(diǎn)分布的性質(zhì)，這恰好是一個(gè)特別簡(jiǎn)單的情況。

III. 伊辛模型和晶格氣體

IV. THE WITTEN INDEX

V. 結(jié)論

• 李-楊理論將相變的研究簡(jiǎn)化為研究大正則配分函數(shù)零點(diǎn)的位置。然而，一般來(lái)說(shuō)，這個(gè)過(guò)程仍然很復(fù)雜。

• 對(duì)于一維和二維伊辛模型，李-楊定理提供了有意義且優(yōu)雅的結(jié)果，這些結(jié)果揭示了問(wèn)題的仍未解決的方面。例如，它幫助我們證明了二維伊辛模型只有一個(gè)相變。

• 晶格氣體和伊辛模型在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。

• 李-楊理論的形式主義也可以用于一些超對(duì)稱量子問(wèn)題，以獲得有關(guān)超對(duì)稱理論基態(tài)數(shù)量的信息。

原文鏈接：https://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/67410/1/TFG-Quera-Bofarull-Arnau.pdf