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每周量子雜志都會(huì)解釋推動(dòng)現(xiàn)代研究的最重要思想之一。本周，數(shù)學(xué)特約撰稿人約瑟夫·豪利特（Joseph Howlett）探討了為什么值得尋找同一真理的多個(gè)不同途徑。

圖源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-10-6

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-10-8

數(shù)學(xué)家的目標(biāo)是擴(kuò)展我們所知道的。因此，他們大部分時(shí)間都在思考如何證明新命題。因此，一旦他們將猜想變成定理，你就會(huì)期望他們繼續(xù)討論一個(gè)新問(wèn)題。畢竟，他們的工作是不斷向清單添加新的真理。

但證明的價(jià)值不僅僅在于將新命題移動(dòng)到“已知”列。數(shù)學(xué)家希望盡可能深入地理解“為什么”?？梢宰屪x者相信證明中的每個(gè)步驟都遵循前一步的邏輯，即使讀者并不完全理解其中的深層數(shù)學(xué)聯(lián)系。審閱這樣的證明時(shí)，你會(huì)錯(cuò)過(guò)那種難以言喻的頓悟洪流——正是這種頓悟，日復(fù)一日地驅(qū)使著數(shù)學(xué)家們站到黑板前。當(dāng)他們談?wù)摗捌痢钡淖C明時(shí)，他們指的是滿足他們對(duì)真正理解特別渴望的證明。

因此，即使在某件事被證明之后，數(shù)學(xué)家也經(jīng)常會(huì)尋找通往相同真理的替代途徑，特別是當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有路徑不令人滿意或不優(yōu)雅時(shí)。通常，重新證明會(huì)以數(shù)學(xué)家以前錯(cuò)過(guò)的方式闡明其結(jié)論。有時(shí)，在構(gòu)建第二個(gè)、第三個(gè)或第四個(gè)證明的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家會(huì)發(fā)明新的技巧，從而產(chǎn)生不相關(guān)的令人驚訝的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)的歷史充滿了例子，這些例子中，已被證明的命題的新證明可以歸功于最終將某些東西移入“理解”列。

使一個(gè)證明比另一個(gè)證明更好的美德是非常主觀的和人文化的。正是由于這些審美價(jià)值觀，該領(lǐng)域經(jīng)常被比作藝術(shù)和科學(xué)。對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，證明是一首交響樂(lè)，是一件藝術(shù)品，不僅關(guān)乎最后的音符，還關(guān)乎一個(gè)人到達(dá)那里必須經(jīng)歷的啟示之旅。

新增的和值得注意的內(nèi)容

不出所料，數(shù)學(xué)中被重新證明最多的定理往往是最著名、最古老的。很少有某種數(shù)學(xué)癡迷之物比素?cái)?shù)更古老或更著名。素?cái)?shù)特別集中在數(shù)軸的低端——0 到 50 之間有 15 個(gè)素?cái)?shù)，但在 10000 到 10050 之間只有 4 個(gè)。素?cái)?shù)定理是描述這種分布的方程。兩位數(shù)學(xué)家于1896年獨(dú)立證明了這一點(diǎn)。但一個(gè)多世紀(jì)后，新的證明不斷出現(xiàn) https://www.quantamagazine.org/mathematicians-will-never-stop-proving-the-prime-number-theorem-20200722/ 。造成這種情況的原因有很多：這是一個(gè)基本定理；許多其他定理都依賴于它；這是磨練數(shù)論家證明能力的好方法。

數(shù)學(xué)家對(duì)證明感到不適的一個(gè)常見(jiàn)來(lái)源是計(jì)算機(jī)的參與?，F(xiàn)代機(jī)器可以以超出任何數(shù)學(xué)家能力的規(guī)模執(zhí)行繁瑣的計(jì)算任務(wù)，但它們產(chǎn)生的證明往往缺乏人類同行所珍視的任何不可言喻的性質(zhì)。

托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）1998年對(duì)開(kāi)普勒猜想（一個(gè)關(guān)于一個(gè)盒子里可以塞多少個(gè)球體的問(wèn)題）的基于計(jì)算機(jī)的證明 https://www.quantamagazine.org/in-computers-we-trust-20130222/ 非常有爭(zhēng)議，以至于他不得不花六年時(shí)間對(duì)每一步進(jìn)行編碼，并將其輸入到一個(gè)形式化的驗(yàn)證程序中，以說(shuō)服所有人它是有效的。

數(shù)學(xué)家們繼續(xù)熱切地等待著 https://www.quantamagazine.org/only-computers-can-solve-this-map-coloring-problem-from-the-1800s-20230329/ 四色定理的紙筆證明（關(guān)于是否有可能用四種或更少的顏色為地圖上的國(guó)家著色，使得沒(méi)有相鄰國(guó)家具有相同的顏色）——盡管沃爾夫?qū)す显诎雮€(gè)世紀(jì)前就借助 1000 小時(shí)的計(jì)算機(jī)時(shí)間證明了這一點(diǎn)。

量子雜志撰稿人Lyndie Chiou和我最近合寫了一個(gè)故事，關(guān)于一個(gè)著名的重新證明 https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/ ——請(qǐng)參閱。“十杯馬提尼”問(wèn)題是問(wèn)當(dāng)生活在原子網(wǎng)格上的電子被放置在磁場(chǎng)中時(shí)會(huì)發(fā)生什么。數(shù)學(xué)家馬克·卡克 （Marc Kac） 曾經(jīng)向任何能夠證明電子能量值形成分形圖案的人提供10杯馬提尼酒。數(shù)學(xué)家最終找到了一個(gè)證明，但它從未與它的作者之一斯維特蘭娜·吉托米爾斯卡婭 （Svetlana Jitomirskaya） 相符。證明涉及使用不同的技術(shù)解決不同的情況，給人一種拼湊的被子，零碎地建造的感覺(jué)。數(shù)學(xué)真理感覺(jué)足夠深刻，以至于吉托米爾斯卡婭懷疑應(yīng)該有一個(gè)更優(yōu)雅的證明來(lái)同時(shí)處理所有不同的情況。

一些數(shù)學(xué)家對(duì)漂亮的證明如此著迷，以至于他們相信并尋求每個(gè)數(shù)學(xué)論證的柏拉圖式理想。保羅·埃爾多斯（Paul Erd?s）曾談到過(guò)著名的所謂《“圣經(jīng)”》（The Book），這是一本只有上帝知道的巨著，其中包含了所有這些完美的證明。就在他去世幾年后，兩位數(shù)學(xué)家出版了他們的版本《“圣經(jīng)”中的證明 》。2018年，他們與量子雜志撰稿人 Erica Klarreich 討論了該綱要的前五個(gè)版本 https://www.quantamagazine.org/gunter-ziegler-and-martin-aigner-seek-gods-perfect-math-proofs-20180319/ ，以及為什么某些證明屬于“圣經(jīng)”。

網(wǎng)絡(luò)上的報(bào)道

證明也像語(yǔ)言。他們讓數(shù)學(xué)家將只存在于他們腦海中的概念傳達(dá)給他們的同事——有時(shí)并不完美。比爾（威廉）·瑟斯頓 （Bill Thurston） 的一篇著名的 MathOverflow 帖子（陶哲軒等人的回復(fù)）愉快地沉思了這項(xiàng)棘手的努力 https://mathoverflow.net/questions/38639/thinking-and-explaining 。

如果證明美學(xué)的主觀性與你對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)該如何運(yùn)作的想法不符，那么你并不孤單。大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）于1900年提出的著名的 23 個(gè)問(wèn)題，以指導(dǎo)下個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)，其數(shù)量接近 24 個(gè)。 希爾伯特決定不包括這個(gè)問(wèn)題 https://www.aemea.org/math/Hilbert_Problem_24.pdf 要求一個(gè)客觀的指標(biāo)，用于根據(jù)簡(jiǎn)單性對(duì)給定命題的證明進(jìn)行排名。呂迪格·蒂勒 （Rüdiger Thiele） 從他的筆記中重新發(fā)現(xiàn)了它，他在2003年《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》 的一篇文章中寫到了這一點(diǎn)。

你如何區(qū)分一個(gè)命題的不同證明？正如數(shù)學(xué)家蒂姆·高爾斯 （Tim Gowers） 在他的博客上討論的那樣，判斷兩個(gè)證明實(shí)際上是相同的 https://gowers.wordpress.com/2007/10/04/when-are-two-proofs-essentially-the-same/ 并不總是那么容易。我想知道他會(huì)如何看待最近的預(yù)印本，該預(yù)印本聲稱勾股定理有無(wú)限多證明 https://arxiv.org/abs/2301.06812 。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-black-holes-keep-pulling-physicists-in-4867639

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-will-never-stop-proving-the-prime-number-theorem-20200722/

https://www.quantamagazine.org/in-computers-we-trust-20130222/

https://www.quantamagazine.org/only-computers-can-solve-this-map-coloring-problem-from-the-1800s-20230329/

https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/

https://www.quantamagazine.org/gunter-ziegler-and-martin-aigner-seek-gods-perfect-math-proofs-20180319/

https://mathoverflow.net/questions/38639/thinking-and-explaining

https://www.aemea.org/math/Hilbert_Problem_24.pdf

https://gowers.wordpress.com/2007/10/04/when-are-two-proofs-essentially-the-same/

https://arxiv.org/abs/2301.06812

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