2024年，隨便打開一個(gè)搜索引擎，搜索「太陽(yáng)系」，結(jié)果大概是這樣的。

某度「太陽(yáng)系」的搜索結(jié)果

或許你對(duì)天文學(xué)一竅不通，但直覺會(huì)告訴你這些太陽(yáng)系照片看起來(lái)就不太真實(shí)。實(shí)際上，你能找到的結(jié)果中幾乎不可能有按正確比例顯示的太陽(yáng)系照片。即使是教科書上的太陽(yáng)系插圖，不論是軌道半徑的大小還是行星大小都沒有按比例繪制。

人教版高中地理必修一的太陽(yáng)系插圖丨人教網(wǎng)

為什么正確比例的太陽(yáng)系插圖那么難找，是因?yàn)樽鲌D的畫師們都不懂天文學(xué)嗎？

這個(gè)事情可能還真的不是畫師的鍋。我們可以做一道簡(jiǎn)單的小學(xué)二年級(jí)數(shù)學(xué)題：已知太陽(yáng)系最小的行星水星直徑約5000km，八大行星中距離最遠(yuǎn)的是海王星，其半長(zhǎng)軸約為30天文單位（AU），合45億km，那么后者是前者的多少倍呢？不難發(fā)現(xiàn)海王星的軌道半徑是水星直徑接近一百萬(wàn)倍。把相差了六個(gè)數(shù)量級(jí)的兩個(gè)物體以相同比例尺同時(shí)畫在一張小小的插圖上，不是畫師不想畫，而是

如果把插圖畫大一些呢？比如說(shuō)，我們可以在常見的A4紙畫出正確比例的太陽(yáng)系八大行星以及他們各自的軌道嗎？

A4紙的規(guī)格是297×210mm，即29.7×21.0cm。天文愛好者對(duì)于29.7這個(gè)數(shù)字應(yīng)該會(huì)比較敏感，因?yàn)檫@很接近海王星公轉(zhuǎn)軌道的半長(zhǎng)軸數(shù)值（約30.11AU），因此我們不妨設(shè)定A4紙上比例尺為1cm=1AU，這樣一張A4紙能顯示的最大距離為紙張的對(duì)角線長(zhǎng)度363.74mm，即不超過36.4AU。

在這個(gè)比例尺下，把太陽(yáng)畫在A4紙的一角，八大行星沿對(duì)角線一字排開，此時(shí)

• 水星軌道距離太陽(yáng)約3.9mm（0.38AU）

• 金星軌道距離太陽(yáng)約7.2mm（0.72AU）

• 地球軌道距離太陽(yáng)約10mm（1AU）

• 火星軌道距離太陽(yáng)約15.2mm（1.52AU）

• 木星軌道距離太陽(yáng)約52.0mm（5.2AU）

• 土星軌道距離太陽(yáng)約95.5mm（9.55AU）

• 天王星軌道距離太陽(yáng)約192.2mm（19.22AU）

• 海王星軌道距離太陽(yáng)約301.1mm（30.11AU）

畫在A4紙大概長(zhǎng)這樣

又太陽(yáng)直徑接近0.01AU[1]，所以太陽(yáng)在A4紙上的對(duì)應(yīng)大小為0.1mm，這個(gè)大小已經(jīng)接近人眼的分辨極限了[2]。即便是取極限（對(duì)焦距離10cm），肉眼的可分辨大小也不會(huì)小于0.03mm，按比例尺換算，此時(shí)直徑在40萬(wàn)千米以下的天體無(wú)法在A4紙上準(zhǔn)確分辨出大小，而行星中最大的木星直徑也僅為14萬(wàn)千米，也就是說(shuō)當(dāng)我們?cè)谝粡圓4紙呈現(xiàn)八大行星正確的距離比例時(shí)，還是無(wú)法在同樣的比例尺下分辨出除太陽(yáng)以外太陽(yáng)系天體的真實(shí)大小。

如果一張A4紙不夠，那我們不妨再用一張。第二張A4紙可以看作是將在第一張A4紙上堪堪可見的太陽(yáng)以及無(wú)法分辨具體大小的八大行星放大以后的效果?？紤]到太陽(yáng)和八大行星在體型上的巨大差異，在第二張A4紙上我們要盡量地把太陽(yáng)畫得大些，最好用滿A4紙的寬度——210mm，那么這時(shí)候太陽(yáng)在紙上占據(jù)的大小是一個(gè)直徑210mm的圓。這個(gè)直徑和第一張紙上的太陽(yáng)比相差2100倍，那么第二張紙的比例尺是第一張紙的2100倍，即1cm≈71237km，巧合的是這個(gè)長(zhǎng)度幾乎就是木星的赤道半徑（71492km）。也就是說(shuō)在第二張紙上：

• 木星直徑約為20mm

• 土星直徑約為16.9mm，含土星環(huán)的直徑為39.4mm

• 天王星直徑約為7.2mm

• 海王星直徑約為6.9mm

• 地球直徑約為1.8mm

• 金星直徑約為1.7mm

• 火星直徑約為0.95mm

• 水星直徑約為0.68mm

在23.8寸的顯示器上全屏觀看此圖，效果與第二張A4紙接近

這個(gè)時(shí)候我們總算可以清楚分辨出八大行星了，行星之間的距離又是多少呢？在相同的比例尺下，如果太陽(yáng)畫在第一張紙的角落，

• 水星需要畫在第23張A4紙上（以對(duì)角線拼接，下同）

• 金星需要畫在第42張A4紙上

• 地球星需要畫在第58張A4紙上

• 火星需要畫在第88張A4紙上

• 木星需要畫在第301張A4紙上

• 土星需要畫在第552張A4紙上

• 天王星需要畫在第1110張A4紙上

• 海王星需要畫在第1739張A4紙上

這樣似乎有些太浪費(fèi)紙了。

既然水星個(gè)頭最小，我們干脆以它為標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)比例尺。按照一般情況下的水星可分辨直徑計(jì)算（0.1mm對(duì)應(yīng)4880km），比例尺定為1cm=50萬(wàn)km，這個(gè)比例尺大約是第一張A4紙的300倍，第二張A4紙的1/7。仍然采用紙張利用率最高的對(duì)角線畫法，效果大概如下：

• 太陽(yáng)直徑約30mm，在第一張A4紙的角落

• 水星直徑約0.1mm，在第4張A4紙上

• 金星直徑約0.24mm，在第6張A4紙上

• 地球直徑約0.26mm，在第9張A4紙上

• 火星直徑約0.14mm，在第13張A4紙上

• 木星直徑約2.9mm，在43張A4紙上

• 土星直徑約2.4mm，含土星環(huán)的直徑約為5.6mm，在第79張A4紙上

• 天王星直徑約1.0mm，在第159張A4紙上

• 海王星直徑約1.0mm，在第249張A4紙上

如果你正在用手機(jī)瀏覽回答，以上無(wú)序列表的標(biāo)點(diǎn)就是天王星和海王星在這個(gè)比例尺下的大小。新方案和上一個(gè)方案相比節(jié)約了近85.7%的A4紙，效果拔群。

在最開始的A4紙上，我們發(fā)現(xiàn)肉眼無(wú)法分辨八大行星的真實(shí)大小，這其實(shí)與我們?cè)诿鎸?duì)現(xiàn)實(shí)星空的情況非常類似：我們無(wú)法分辨夜空中群星的真實(shí)大小，但我們實(shí)實(shí)在在地看到了它們。所以換個(gè)角度想，如果我們想辦法讓畫在紙上的八顆行星「發(fā)光」，那么即便它們都在肉眼分辨極限之外，我們也能注意到。

夜空中所有恒星的視直徑都小于肉眼分辨極限︱茲基派德

可以規(guī)定水星對(duì)應(yīng)一個(gè)發(fā)光像素點(diǎn)，在維持比例尺不變（1cm=1AU）的前提下這個(gè)像素點(diǎn)的大小在0.3μm附近。其余行星對(duì)應(yīng)的像素點(diǎn)數(shù)量按比例分配，雖然不管分配多少個(gè)像素點(diǎn)最后人眼看上去都只是一個(gè)點(diǎn)。

由于人眼的視覺特性，當(dāng)我們看真實(shí)星空時(shí)，越亮的星星看起來(lái)似乎更大些[3]，伽利略曾經(jīng)觀察-2等的木星和-4等的金星，他發(fā)現(xiàn)更亮的金星看起來(lái)要比木星大8~10倍[4]。類似的，我們可以通過設(shè)計(jì)亮度梯度讓人眼觀察紙上的八大行星時(shí)產(chǎn)生星點(diǎn)大小有別的「錯(cuò)覺」。

順帶提一句，如果使用0.3μm的像素點(diǎn)鋪滿整張A4紙，總像素會(huì)相當(dāng)于209億個(gè)8K顯示屏，像素密度是目前主流手機(jī)顯示屏的100倍以上。

參考&拓展

[1]1.4E6÷1.5E8

[2]正常人眼最近對(duì)焦距離為10~15cm，0.1mm的物體在該距離下的張角為2.3~3.4角分，一般認(rèn)為人眼角分辨極限為1角分

[3]https://www.zhihu.com/question/24113185/answer/26992311

[4]https://www.zhihu.com/question/22923983/answer/23108906

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