菲爾茲獎得主吳寶珠近期在HLF海德堡桂冠論壇暢談伽羅瓦的不朽遺產(chǎn)——伽羅瓦理論。

作者：Benjamin Skuse 英國科普作家 2024-10-30

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2024-10-31

對于吳寶珠（B?o Chau Ng?，1972 -，2010年菲爾茲獎得主）來說，伽羅瓦群鞏固了他2009年對數(shù)學(xué)的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，證明了朗蘭茲綱領(lǐng)的“基本引理”，該綱領(lǐng)是2018年阿貝爾獎獲得者羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands，1936 -）提出的一系列數(shù)學(xué)猜想，將許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域聯(lián)系起來。但在第11屆海德堡桂冠論壇上的半小時演講中，吳寶珠明智地選擇不會花時間介紹伽羅瓦理論，也不會更糟糕地嘗試概述朗蘭茲綱領(lǐng)及其相關(guān)的基本引理。這些主題太廣泛、抽象和復(fù)雜，無法在如此短的時間內(nèi)解釋清楚。

圖源：HLFF / Flemming

取而代之的是，吳寶珠向與會者介紹了伽羅瓦群是什么，以揭示為什么伽羅瓦理論在其誕生之初對數(shù)學(xué)進(jìn)步很重要，以及為什么它仍然是當(dāng)今數(shù)學(xué)進(jìn)步的核心：這是一種思維方式，允許數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)和形式。

敏銳的智慧和獨創(chuàng)性

天才數(shù)學(xué)家、堅定的法國共和黨人和不幸的決斗家埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois，1811 - 1832）在地球上只存在了短短20年，但他在數(shù)學(xué)許多分支中留下的遺產(chǎn)已經(jīng)持續(xù)了近200年，并且很可能還會持續(xù)很長時間。

伽羅瓦的肖像（大約15歲時）

圖源：公共領(lǐng)域

伽羅瓦最重要的工作是創(chuàng)立了后來被稱為群論的理論。他提出了群的三個原則，并利用這些原則發(fā)現(xiàn)了群的更多性質(zhì)。這些性質(zhì)可用于將群與其它看似不相關(guān)的群進(jìn)行比較。

然后，該技術(shù)可以用作比較代數(shù)方程類型以及這些方程的解的方法。更具體地說，伽羅瓦群包含多項式方程解之間的所有對稱性；換句話說，根的置換（即重新排列）保留了方程解之間的所有關(guān)系。

對于數(shù)學(xué)之外的任何人來說，這似乎都是微不足道的——以稍微不同的方式呈現(xiàn)已存在和已知的東西，如果你愿意的話，可以對論文進(jìn)行洗稿。事實上，它過去是、現(xiàn)在依然是一個啟示。

從巴比倫人到文藝復(fù)興時期的意大利

吳寶珠以歷史課開始他的演講：“我們在學(xué)校學(xué)到的二次方程的解法，你可以在公元前2000年的巴比倫石板中找到等價形式，”他說，即二次方程一般形式 x2+bx+c=0 的解：

x=[?b±√(b2–4ac) ] / 2a

“當(dāng)轉(zhuǎn)向三次方程時，這就困難得多，但你可以在10世紀(jì)左右的中文和波斯文[文獻(xiàn)]中找到大量三次方程的解，”他補充道。事實上，吳寶珠透露，三次方程甚至四次方程解的一般形式在伽羅瓦時代之前就已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)。

文藝復(fù)興時期，意大利數(shù)學(xué)家喬瓦尼·卡丹 （Gerolamo Cardano，又譯名杰羅拉莫·卡爾達(dá)諾，1501 - 1576）和 尼科洛·塔爾塔利亞（Niccolò Tartaglia，1499 - 1557）寫下了三次方程解的非常復(fù)雜的一般形式?！拔覀儺?dāng)中很少有人能夠自己發(fā)現(xiàn)這個公式，”吳寶珠補充道。“這是很基礎(chǔ)的，但它有一系列非常聰明和技巧性的變量代換?！边@一突破之后，另一位意大利數(shù)學(xué)家洛多維科·費拉里（Lodovico Ferrari，1522 - 1565）很快提出了更為復(fù)雜的四次方程解法。

在這里，吳寶珠停下來思考了一會兒。“但是我們所說的解是什么意思呢？”他問觀眾。“我們正在尋找某種[涉及]多項式系數(shù)的公式，然后我們可以使用四種運算（加、減、乘、除）和開根號 -- 然而我們會對開根號有分歧，因為有多種選擇?！?/p>

吳寶珠（B?o Chau Ng?，1972 -，2010年菲爾茲獎得主）

圖源：HLFF / Flemming

抽象導(dǎo)致理解

伽羅瓦理論完全消除了這種分歧。它匯集了所討論方程的所有根并描述了它們之間的所有對稱性。根之間的對稱性是指一個根可以被另一個根替換而不影響答案。例如，任何僅涉及加上或乘以√2的表達(dá)式，將得到同樣的答案（只需用-√2替換√2）。

通過從代數(shù)方程本身后退一步，伽羅瓦理論揭示了它們的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，伽羅瓦可以非常簡單而雄辯地解決最近才通過復(fù)雜方法解決的數(shù)學(xué)問題。

吳寶珠舉了一個例子。“阿貝爾-魯菲尼（Abel - Ruffini）定理表明，不可能找到[5次及以上]方程的一般形式的解——這是一個驚人的結(jié)果，”他說?！暗绻o你一個方程，這個定理并不能告訴你是否可以用根式解它?！睋Q句話說，該定理沒有解釋給定一個特定方程，是否存在僅對方程中的有理系數(shù)使用有理數(shù)以及加、減、乘、除和求n次根的運算得到方程的解。

“通過伽羅瓦群，你可以再次證明阿貝爾-魯菲尼定理，并且可以使用伽羅瓦群的計算來恢復(fù)塔爾塔利亞和費拉里等人的棘手計算，”吳寶珠說。而且，可解的5次多項式方程正是那些對應(yīng)伽羅瓦群是可解的。換句話說，伽羅瓦理論可以用來說明一個特定的方程是否可以用根式求解。

當(dāng)代發(fā)展

“伽羅瓦理論的全部意義在于從研究代數(shù)方程轉(zhuǎn)向一個完全不同的對象：一些抽象群，方程的解可以用這些非常簡單的形式來表達(dá)，”吳寶珠解釋道。很久以后，當(dāng)數(shù)學(xué)家開始欣賞伽羅瓦的洞察時，我們就清楚了這一點，這種抽象對于讓伽羅瓦理論成為重要數(shù)學(xué)學(xué)科和其他學(xué)科之間的基本橋梁至關(guān)重要。

例如，伽羅瓦理論引入了有限域的抽象代數(shù)概念。事實證明，有限域已經(jīng)成為從算法定義到公共密碼學(xué)、斷層掃描和構(gòu)建良好計算機網(wǎng)絡(luò)等諸多一切事物的核心。伽羅瓦理論的這些基本、普遍和持久的品質(zhì)就是它被1994年菲爾茲獎得主Efim Zelmanov（埃菲·杰曼諾夫，1955 -）在2024年林道諾貝爾獎得主大會上的海德堡演講期間）這樣描述它為“數(shù)學(xué)美的黃金標(biāo)準(zhǔn) ”的原因。

Efim Zelmanov（埃菲·杰曼諾夫，1955 -）在2024年林道諾貝爾獎得主大會

圖源：LINO / Christian Flemming

向不同的受眾展示伽羅瓦理論如何滲透到現(xiàn)代純數(shù)學(xué)絕非易事。吳寶珠從20世紀(jì)拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展開始?！碍h(huán)面是拓?fù)渲械谝粋€重要的對象，與之相關(guān)的是‘基本群’（fundamental group），”他解釋道，其中基本群是指與記錄其基本形狀或孔洞信息的拓?fù)淇臻g相關(guān)的群。

在環(huán)面示例中，如果你在環(huán)面表面縱向繪制一個環(huán)（下圖藍(lán)色），并在環(huán)面內(nèi)部的子午線（經(jīng)線）上繪制另一個環(huán)（下圖紅色），則兩者之間無法連續(xù)變形，因此它們是不同的。結(jié)果，僅使用這兩種類型的環(huán)就可以構(gòu)建形成環(huán)面的空間。這可以表示為環(huán)面的基本群 ?2。

圖源：HLFF

“這似乎與伽羅瓦理論沒有太大關(guān)系，但確實如此，”吳寶珠解釋道?！啊采w理論’（covering theory）?！?960年代，亞歷山大·格羅騰迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014，1966年菲爾茲獎得主）將所有這些結(jié)合在一起，將數(shù)論中的伽羅瓦群與拓?fù)鋵W(xué)中的基本群聯(lián)系起來。

盡管細(xì)節(jié)留給感興趣的讀者，但覆蓋本質(zhì)上是拓?fù)淇臻g之間的映射，其作用就像基（礎(chǔ)）空間的多個副本到其自身的投影。因此，環(huán)面的平凡覆蓋空間可以像一個螺旋樓梯一樣勾畫出來，樓梯的末端是一個甜甜圈，即基（礎(chǔ)）空間。在一定的限制和條件下，給定基空間的基本群類似于伽羅瓦群。由此，拓?fù)淇臻g和域之間的聯(lián)系和相似性很容易暴露出來，為這兩個學(xué)科提供新的見解。

圖源：HLFF

然后，吳寶珠快進(jìn)到今天。他說算術(shù)幾何中一些最大的問題與伽羅瓦理論有關(guān)。例如：“如何表征上同調(diào)（cohomology，一系列阿貝爾群，通常與拓?fù)淇臻g相關(guān)）代數(shù)簇中出現(xiàn)的伽羅瓦表示，”他問道。“我們通過這些伽羅瓦表示來研究代數(shù)簇，但我們需要知道這些伽羅瓦表示的性質(zhì)?！?/p>

盡管他提到過去20年在這個問題上取得了重大進(jìn)展（包括他本人在內(nèi)），但它仍然可能占據(jù)數(shù)學(xué)家未來50到100年的時間。實際上，吳寶珠的結(jié)論是，伽羅瓦的思想在他和所有受眾去世后很長一段時間內(nèi)仍然具有現(xiàn)實意義。

實現(xiàn)預(yù)言

在1832年5月30日那場結(jié)束他生命的決斗的前一天晚上，伽羅瓦瘋狂地寫下了60頁的數(shù)學(xué)筆記。這些筆記經(jīng)常被浪漫地認(rèn)為是群論誕生的原因，盡管事實證明，這方面肯定是他前期完成的工作。然而，它們確實包含了一個預(yù)言性的后記：“我希望，以后會有一些人充分利用它來破譯這一切混亂。”

如果伽羅瓦能夠聽到吳寶珠解釋他的原創(chuàng)思想和數(shù)學(xué)進(jìn)步如何繼續(xù)影響和塑造21世紀(jì)的數(shù)學(xué)，毫無疑問，他會感到滿意，因為他的希望已經(jīng)完全超出了預(yù)期。

你可以在下面的視頻中觀看吳寶珠在第11屆海德堡桂冠論壇上的整個演講https://youtu.be/oHaibdbxOU0

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/galois-enduring-legacy/

https://youtu.be/oHaibdbxOU0

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