我的朋友們，歡迎閱讀本集《BASAL - 本對學(xué)術(shù)文獻(xiàn)的業(yè)余合成》（BASAL -Ben’sAmateurishSynthesis of theAcademicLiterature）！

作者：Ben Orlin（本·奧爾林，英國數(shù)學(xué)教師、科普書作家）2024-11-19

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2024-11-22

圖源：Ben Orlin | mathwithbaddrawings.com

在本集中，我們將探討：

1. 歷史上的數(shù)學(xué)家是如何努力構(gòu)想代數(shù)的

2. 歷史上的數(shù)學(xué)家是如何努力理解概率的

3. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本上就是快速應(yīng)對同樣的歷史挑戰(zhàn)

4. 誰關(guān)心，為什么

1.

海倫娜·佩西奧（Helena Pycior）和符號的怪異之處

根據(jù)Jim Propp（即James Propp教授，譯者注）的熱門提示（試著快速講十遍），我一直很欣賞歷史學(xué)家Helena Pycior（海倫娜·佩西奧，1947 -，歷史學(xué)家，美國）的工作，以及她有關(guān)19世紀(jì)轉(zhuǎn)向“符號代數(shù)”的著作。

這種數(shù)學(xué)，現(xiàn)在在“代數(shù) 1”的主辦下講授，對我們來說并不陌生或不熟悉（這里的“我們”是指“數(shù)學(xué)博客的讀者”）。但佩西奧揭示了它的極度怪異。

不只是13歲的孩子覺得這些東西難以接受。直到19世紀(jì)中期，一些英國數(shù)學(xué)家還不得不被拖入這個噩夢般的世界，彼時數(shù)學(xué)符號脫離了它們所象征的事物而自由飄蕩。

以威廉·漢密爾頓（William Hamilton，1805 - 1865，因提出四元數(shù)quaternion而聞名）寫給同事的一封信中的話為例：

我們屬于代數(shù)的對立兩極；因為你……似乎認(rèn)為代數(shù)是一種“符號及其組合的系統(tǒng)”，有點(diǎn)類似于用字母表達(dá)的三段論；而我永遠(yuǎn)不會滿足，除非我認(rèn)為我可以超越或透過符號來看到所表示的事物。

你明白了嗎？威廉·漢密爾頓為我們提供了奇異的復(fù)數(shù)的非交換推廣，并不希望代數(shù)僅僅是一門符號科學(xué)。

他想確切地知道這些符號象征著什么。

沒有人反對一種更為溫和的代數(shù)形式，即所謂的“廣義算術(shù)”。諸如 2x+3x=5x 這樣的陳述可以理解為具體算術(shù)模式的精辟總結(jié)：任何數(shù)字的兩倍加上該數(shù)字的三倍，得出該數(shù)字的五倍。

這種代數(shù)得到了一致認(rèn)可。

但像將兩個負(fù)數(shù)相乘得到一個正數(shù)這樣的事情……嗯，這已經(jīng)不再是算術(shù)了。這是純粹的符號化，沒有明確的東西被象征。它是有效的，因為它給出了一致的結(jié)果，并被證明在解決數(shù)學(xué)和科學(xué)問題方面很有用……但它沒有實(shí)際的具體意義。

信奉“負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)等于正數(shù)”就是失去了數(shù)學(xué)純真性。就是放棄具有明確而具體的現(xiàn)實(shí)世界意義的符號。就是接受19世紀(jì)和20世紀(jì)數(shù)學(xué)作為自洽邏輯系統(tǒng)的觀點(diǎn)。正如希爾伯特所說，就是接受數(shù)學(xué)是“一種按照某些簡單規(guī)則進(jìn)行的游戲，在紙上做無意義的標(biāo)記?！?/p>

簡而言之：代數(shù)不僅對脾氣暴躁的青少年來說很難。對于任何致力于理解符號含義的人來說，代數(shù)都是很難的。

2.

伊恩·哈金（Ian Hacking）與概率的出現(xiàn)

Twitter上有人開玩笑（這是個玩笑嗎？）說他們要求入門統(tǒng)計學(xué)的學(xué)生閱讀Ian Hacking（伊恩·哈金，1936 - 2023，哲學(xué)家，加拿大）的《概率的出現(xiàn)》（The Emergence of Probability）1 。考慮到學(xué)生發(fā)現(xiàn)閱讀教學(xué)大綱有多困難，這似乎是一項相當(dāng)艱巨的任務(wù)。不過，我還是很好奇。

這本書奇怪地引人入勝。我了解到概率的出現(xiàn)是……

1. 突然的。它明顯發(fā)生在1650年至1670年之間。

2. 廣泛的。數(shù)十位思想家同時探討此同一主題。

3. 令人驚訝的晚。人們已經(jīng)賭博了數(shù)千年。顯然，1660年并不是第一次有人想在賭博中獲勝。那么，為什么要等這么久才知道概率呢？

毫無疑問，概率的出現(xiàn)是因為在17世紀(jì)中期，某種東西“懸而未決”?？栠_(dá)諾等先行者只是證明了這一點(diǎn)：他在一個世紀(jì)前就提出了概率的起源，但沒有人理解其中的道理。有什么比有人給他們發(fā)信息，而他們卻在多年后仍將其置于“未讀”狀態(tài)，更能證明人們還沒有準(zhǔn)備好接受概率呢？

現(xiàn)在，我很容易曲解哈金的精妙論證，但簡而言之，他通過分析知識形式解決了這個謎團(tuán)。到1600年，知識有兩種基本形式。

首先（對我們來說更容易辨認(rèn)）的是確定的知識：我們毫無疑問知道的東西，因為它已經(jīng)通過歐幾里得式的無可辯駁的論證被證明了。這不僅包括數(shù)學(xué)，還包括天文學(xué)、光學(xué)等。（今天，我們傾向于認(rèn)為這一類別實(shí)際上是空洞的，因為我們認(rèn)為經(jīng)驗真理從根本上來說是偶然和不確定的。但那是因為我們用后驗概率的眼光來看問題。）

第二種（也是更奇怪的）知識是證詞或意見：我們知道某些東西是因為權(quán)威宣稱它是真的。

這就是“可能”一詞的由來。它的含義并不是我們所想的那樣。

當(dāng)時，概率指的是我們對作證權(quán)威的尊重程度。它的意思類似于“值得認(rèn)可”。一個“可能”的事實(shí)來自像李維（Livy，Titus Livius，公元前59年 - 公元17年，歷史學(xué)家，古羅馬）或波利比烏斯（Polybius，公元前200年 - 前118年，歷史學(xué)家，古希臘）這樣受人尊敬的人；一個“不可能”的事實(shí)來自某個不知名的抄寫員。哈金引用了這樣的話：“這個說法極有可能，但已知是錯誤的”——這在我們聽來似乎自相矛盾，但在當(dāng)時卻是一個非常明智的說法。

無論如何，這種二分法明顯缺少了物證的概念。

云朵是暴風(fēng)雨的證據(jù)?？人允前l(fā)燒的證據(jù)。雪地上的腳印是附近有兔子的證據(jù)。這些跡象并不完全是原因，因為它們不能保證結(jié)果，而只是以不同程度暗示結(jié)果。這些跡象被歸入第二類知識，被歸類為“自然的證詞”。根據(jù)哈金的說法（在這里他有點(diǎn)讓我困惑），這不是一個比喻：人們確實(shí)認(rèn)為這些是證詞，是大自然的記錄。

概率就是從第二種知識中產(chǎn)生的。

我很快會寫更多有關(guān)此內(nèi)容的文章。（這本書值得一篇長達(dá)5000字的ACX博客風(fēng)格的評論。2）但有一點(diǎn)值得注意：我們對概率和統(tǒng)計的理解方式背負(fù)著巨大的負(fù)擔(dān)。就像數(shù)英里看不見的大氣層總是壓在我們頭上一樣，數(shù)英里被遺忘的信念和迷失的神學(xué)也壓在我們輕率的主張上，例如“正面的概率”或“贏得選舉的概率”是50%。

簡而言之：概率不只是對脾氣暴躁的青少年來說很難。這種數(shù)學(xué)不可避免地與你的整個世界觀糾纏在一起。

3.

安娜·斯法德（Anna Sfard）和“方式成為樣貌”（a How Becoming a What）的奇跡

博學(xué)多識的邁克爾·珀尚（Michael Pershan）博覽群書，幾年前就建議我讀一讀斯法德（Anna Sfard，1949 -，數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家，以色列）的《論數(shù)學(xué)概念的二象對偶性》（On the Dual Nature of Mathematical Conceptions）。我真是個傻瓜，直到2024年才讀完。

她的論點(diǎn)簡要如下：我們首先將數(shù)學(xué)視為一個過程來學(xué)習(xí)。然后，在一次神秘而又近乎奇跡般的頓悟中，我們將這個過程重新解釋為一種結(jié)構(gòu)，即它本身。

以學(xué)前數(shù)學(xué)為例：計數(shù)。向?qū)W齡前兒童展示5個物體，他們會數(shù)數(shù)：“一、二、三、四、五”。然后，添加另一個物體，并說：“現(xiàn)在有多少個？”

大多數(shù)孩子不會從五開始。他們會從頭開始：“一、二、三、四、五、六”。對他們來說，“五”只有在計數(shù)過程中才有意義。它本身還不是一個對象。還不是我們所說的數(shù)字。

要做算術(shù)運(yùn)算（比如，將五加五），你需要獲取這個計數(shù)過程的結(jié)果，并開始將其視為一個對象本身，斯法德將此稱為物化（reification）。

這種學(xué)習(xí)循環(huán)不僅適用于計數(shù)。除法過程（4塊披薩分給7個人）產(chǎn)生了我們稱之為“分?jǐn)?shù)”的對象（4/7，這是除法過程的結(jié)果，但本身也是一個對象）。

計算過程（加倍，然后加五）產(chǎn)生代數(shù)表達(dá)式（2x+5，這是計算過程的結(jié)果，但也是一個獨(dú)立的對象）并最終產(chǎn)生函數(shù)。

順便說一句，函數(shù)花了幾個世紀(jì)才確定下來。我教給16歲學(xué)生的定義是：函數(shù)是一組有序?qū)Γ▁,y），x在定義域中，y在值域中，每個x只出現(xiàn)在一個有序?qū)χ?。這是物化理論的巴洛克式勝利，是布爾巴基和20世紀(jì)的產(chǎn)物。

這讓我們看到了斯法德的要點(diǎn)：物化既是一個教學(xué)過程，也是一個歷史過程。就像發(fā)育生物學(xué)家曾經(jīng)說過的：個體發(fā)生重演了系統(tǒng)發(fā)生（ontogeny recapitulates phylogeny胚胎重演律）。

歷史上數(shù)學(xué)家的奮斗歷程預(yù)示著我們的學(xué)生將經(jīng)歷這些。

4.

關(guān)于數(shù)學(xué)史的兩種矛盾思想

似乎每個人都覺得數(shù)學(xué)課缺少人性化元素。這些規(guī)則是怎么回事？誰想出了這些東西？我們?yōu)槭裁匆鲞@些？在尋找意義時，人們通常會援引歷史。如果我們能解釋誰想出了這些東西，以及為什么，那么也許它就會給這個主題一個人類面孔，一個有意義的背景。

這就帶來

想法＃1：希望歷史能夠?qū)?shù)學(xué)從晦澀和抽象中拯救出來。

想法＃2：這實(shí)際上不起作用。

我是根據(jù)自己的經(jīng)驗來講述的，就像查理·布朗是根據(jù)踢足球的經(jīng)驗來講述的一樣。例如，在后來成為《唯一不變的是變化：瘋狂世界中的微積分智慧》（Change is the Only Constant）這本書的早期草稿中，我解說了很多微積分的歷史，認(rèn)為這非常聰明且引人入勝。3

“嗯……”我的編輯貝基說。“這可真是一段不小的歷史啊。”

這是她說“為什么，本，為什么？??！”的禮貌方式。

對數(shù)學(xué)感到厭煩和疏遠(yuǎn)的人可能會認(rèn)為他們想要?dú)v史。但歷史并沒有簡化問題。它使問題變得非常復(fù)雜。當(dāng)你追溯祖先的世代時，你的家譜就會成倍增長。思想也是如此。血統(tǒng)不斷增加。過去也許可以解釋現(xiàn)在，但解釋過去卻很難。

當(dāng)人們說他們想要“歷史”時，他們真正想要的是故事。他們想要的是軼事。這些軼事不一定是真實(shí)的，也不一定是歷史嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。天才神話很容易讓人接受，混亂的偶然事件則不然。

因此，歷史的價值并不在于學(xué)習(xí)者。

歷史的價值在于教師。

數(shù)學(xué)教育充滿了深刻、奇妙和充滿疑問的思想。它們誕生于數(shù)個世紀(jì)的喧囂，誕生于令人驚訝的合作和激烈的斗爭。我們的符號、我們的概念、我們的教學(xué)順序——總的來說，這些都不是不可避免的?；仡櫸覀兩砗蟮牡缆?，你會發(fā)現(xiàn)被擊敗的對手、失敗的競爭對手和被遺忘的替代方案。和當(dāng)今世界上的其他一切一樣，我們稱之為“數(shù)學(xué)”的學(xué)科帶有產(chǎn)生它的幾千年的印記和傷痕。要知道它是什么——以及知道它在未來幾十年的發(fā)展方向——你需要對它的起源有豐富的了解。

歷史無法將數(shù)學(xué)從默默無聞中拯救出來。歷史無法說服學(xué)生接受“負(fù)負(fù)得正”的觀念。歷史無法將僵化、教條的思想者變成靈活、概率論的思想者。

但是如果老師既懂歷史，又懂?dāng)?shù)學(xué)，還了解學(xué)生的話，那么他們也許有機(jī)會。

譯者注

#1 The Emergence of Probability，Ian Hacking著

http://www.andreasaltelli.eu/file/repository/Jan_Hacking_Emergence_Probability.pdf

#2 書評博客Astral Codex Ten https://www.astralcodexten.com/about

#3 本文作者是Math with Bad Drawings（數(shù)學(xué)和爛插畫）博客主：本·奧爾林（Ben Orlin），已出版多部暢銷書籍《歡樂數(shù)學(xué)》，《瘋狂微積分》等，列舉如下：

參考資料

https://mathwithbaddrawings.com/2024/11/19/whats-the-use-of-math-history/

http://www.andreasaltelli.eu/file/repository/Jan_Hacking_Emergence_Probability.pdf

https://www.astralcodexten.com/about

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