《世界觀：現(xiàn)代人必須要懂的科學哲學和科學史》是美國學者理查德?德威特撰寫的科學哲學著作，2018年由機械工業(yè)出版社出版。作者基于費爾菲爾德大學的教學經驗，通過圖表輔助與通俗化表述，系統(tǒng)梳理科學認知體系的演進歷程。

全書以科學史為主線，解析人類世界觀從亞里士多德地心說、牛頓經典力學到相對論與量子力學的變革過程。第一部分探討科學哲學基礎命題，包括真理本質與實證方法；第二部分分析古代至近代科學范式轉換，聚焦托勒密至伽利略的理論突破；第三部分評述現(xiàn)代科學對傳統(tǒng)世界觀的沖擊，揭示科學理論與認知框架的動態(tài)發(fā)展。通過跨學科視角，闡釋科學思維如何重構人類對世界的理解。

第26章　量子理論導論：量子理論的基本經驗事實和數(shù)學方法

在前幾章中，我們探討了狹義相對論和廣義相對論，看到了與空間和時間的性質及重力性質相關的觀點，這些理論和觀點都產生了有趣的影響。在本章中，我們將轉向現(xiàn)代物理學的另一個分支——量子理論。接下來，我們很快就會看到有關量子理論的新近發(fā)現(xiàn)同樣產生了重要影響。

量子理論是一個容易讓人迷惑的理論，因此，如果我們想準確地了解其概況，就需要非常謹慎。我們的策略是，首先解釋三個相關命題之間的關鍵區(qū)別，這三個命題分別是：①涉及“量子實體”的經驗事實；②量子理論本身，也就是量子理論的數(shù)學核心；③與詮釋量子理論有關的命題。澄清了這三個命題后，我們將在本章的后面幾節(jié)中探討①和②，而把③留到第27章討論。

事實、理論和詮釋

正如前面提到過的，在任何關于量子理論的非技術性探討中，至少需要區(qū)分三個獨立的命題：①量子事實，也就是涉及量子實體的經驗事實；②量子理論本身，這里我所指的是量子理論的數(shù)學核心；③對量子理論的詮釋，這在很大程度上與一系列哲學問題有關，比如什么樣的現(xiàn)實可以產生量子事實，以及什么樣的現(xiàn)實可能與量子理論數(shù)學保持一致。不幸的是，在通常關于量子理論的非技術性探討中，這些命題往往被混為一談。舉個例子，經?？梢钥吹接杏^點稱，量子理論表明西方科學和某些東方哲學在對宇宙的看法上，由于觀點相同而融合了。這其實是錯誤的，一些對量子理論的詮釋認為有這樣的融合存在，但是對一個理論的詮釋和理論本身，兩者應該是保持相互獨立的命題。再舉個例子，同樣經?？梢钥吹接杏^點表示量子理論表明宇宙在持續(xù)分裂成多重平行宇宙。然而，同樣地，一些對量子理論的詮釋表達了這種情況的存在，但量子理論本身并沒有。

圍繞量子理論的命題非常復雜，這已得到公認。但是，如果我們逐步而又謹慎地探討這個話題，那么我們就可以很好地概括了解量子理論及其相關命題，重點是這種概括了解也會很準確。我們第一步將是簡要描述上面提到的三個命題之間的區(qū)別。量子事實當我談到量子事實時，我所指的只是涉及量子實體的經驗事實。這樣的事實包括：有關電子、中子、質子和其他亞原子粒子的實驗結果；有關光子，也就是光線“單元”的實驗結果；有關放射性衰變時釋放出的粒子等的實驗結果。

在本章后續(xù)篇幅中，我們將看到這些事實都非常出人意料，但并不存在爭議。特別是，對于這些事實是什么不存在爭議，存在爭議的是如何詮釋這些事實，比如什么樣的現(xiàn)實可以帶來這樣不同尋常的事實。但是，涉及詮釋的命題需要與對量子事實本身的描述區(qū)分開來。

在繼續(xù)討論之前，有兩點值得簡要提一下。第一，對于什么物體可以歸為量子實體，我故意保持了模糊。前面提到過的實體，也就是包括電子和質子在內的亞原子粒子、光子及與放射性衰變有關的粒子，都很明確是量子實體。因此，在接下來的大部分討論中，我們討論的量子事實都將是關于這些粒子的事實。但是請記住，所有物體，包括你、我、桌椅等，都是由這些較小的實體組成的。然而，正常大小的物體是否應該被當作量子實體，還存在一定爭議。因此，接下來，我將主要強調的量子事實所涉及的都是不存在爭議的量子實體，比如上面提到的那些粒子。

第二，在談論光子、電子、放射性衰變所釋放出的粒子等量子實體時，通常會用“粒子”這個詞。確實，在某些情境中，量子實體的行為模式似乎表明它們是粒子。然而，很快我們就將看到，在其他情境中，量子實體的行為模式則似乎表明它們是波?，F(xiàn)在已明確的是，在談論量子實體時用“粒子”或“波”都不是特別正確。我將繼續(xù)用“粒子”這個術語，這也是標準做法，不過不應該把這個做法解讀為回答了“量子實體究竟是什么性質”的問題。

量子理論本身

與大部分17世紀以來出現(xiàn)的物理學理論一樣，量子理論是一個以數(shù)學為基礎的理論。當我談到“量子理論本身”時，我腦中出現(xiàn)的主要是在量子理論中處于核心地位的數(shù)學部分。量子理論的核心數(shù)學部分發(fā)現(xiàn)于20世紀20年代末期，它與其他物理學分支中的數(shù)學差不多。最值得注意的是，量子理論數(shù)學是用來預言和解釋涉及量子實體的現(xiàn)象的，包括前面提到的那些量子事實。

最后，我還想簡要討論的一點是，量子理論數(shù)學到目前為止取得了巨大成功。量子理論數(shù)學在80多年中幾乎從來沒有發(fā)生過變化，也沒有做出過不正確的預言。在預言和解釋方面，量子理論可以說是我們所遇到過的最成功的理論了。

對量子理論的詮釋

對量子理論的詮釋實際上是一個關于現(xiàn)實的本質的哲學話題，具體來說，對量子理論的多種不同詮釋，核心都圍繞一個問題，那就是“什么樣的事實可以同時與量子事實和量子理論本身保持一致”。也就是說，可能量子事實是由某種業(yè)已存在的現(xiàn)實造成的，而且鑒于量子理論數(shù)學在預言和解釋這些量子事實方面非常成功，那么認為量子理論數(shù)學從某種意義上說與現(xiàn)實有聯(lián)系就是非常合理的。因此，詮釋問題就變成了“什么樣的現(xiàn)實既與已知的量子事實和量子理論數(shù)學相一致，同時又可以導致這些量子事實”。

在接下來的幾個小節(jié)中，我們將更加詳細地探討一些基本量子事實和量子理論數(shù)學，而在第27章中，我們將探討各種各樣的現(xiàn)實命題，其中最出名的就是所謂的測量難題，以及各種量子理論詮釋。我在前面提到過，量子事實、量子理論本身和有關量子理論詮釋的命題很容易被混為一談，如果出現(xiàn)了這種情況，你就很容易對圍繞量子理論的命題和這個理論可能的影響感到困惑，并對它們產生誤解。接下來，我不會要求你保持快速，以確保你可以對量子事實、量子理論本身和對量子理論詮釋之間的區(qū)別保持清醒。

一些量子事實

在這一節(jié)中，我們將看到通過涉及電子、光子和其他量子實體的實驗所得到的相當直接明確的經驗結果。下面描述的實驗，或者與之相似的其他實驗，通常被用來表示與量子事實有關的一些奇妙之處。這些實驗主要涉及電子和光子。電子是原子的組成部分，用一支電子槍就可以輕松發(fā)射出電子。電子槍是用來發(fā)射電子束的設備，非常常見。舉個例子，龐大的老式電視機和電腦顯示器（都不是平板的那種）背部有一個電子槍，屏幕上的畫面就是通過引導電子槍發(fā)射出的電子運動到屏幕上合適的位置而產生的。光子則是光線“單元”，當然，可以由多種方式產生，比如手電筒。

為了便于討論，我暫時不想把關注點局限于量子事實本身，也就是實驗結果本身，而是對現(xiàn)實進行一個簡短的討論。請注意，這將讓我們短暫接觸與詮釋有關的命題，但是這樣做會使我們的討論更簡單。很快我們就會回到對事實本身直接明確的思考上來。

對現(xiàn)實命題的短暫討論

我們馬上就會看到，某些涉及量子實體的實驗結果與“量子實體是波”的觀點最為一致，而某些實驗結果則與“量子實體是粒子”的觀點最為一致。假設我們現(xiàn)在思考一個現(xiàn)實問題：電子、光子和類似實體到底是粒子還是波？

讓我們先花點時間來認清波與粒子頗為不同的事實。首先考慮一下粒子，讓我們以棒球為例。粒子是離散的物體，在空間和時間中都有定義好的位置。

粒子與粒子之間以典型的粒子方式進行相互作用，比如彼此彈開，或者分裂成更小的粒子。

波則被更多地看作一種現(xiàn)象，而不是離散的物體，在空間和時間中，波通常在相當大的范圍內傳播，而不是局限在一個相對較小且定義清晰的位置上。

比如，沙灘邊的波浪并不是在一個特定位置，而是在一個較大的區(qū)域內傳播。

除此之外，波與波之間的相互作用也與粒子頗為不同。有時，兩列波通過相互作用，形成更大的一列波；有時，兩列波通過相互作用，達到相互抵消的效果；還有時，兩列波相交后分離，各自并不產生任何變化。

波和粒子的性質如此不同，兩者產生的實驗效果也大相徑庭。因此，你可能會認為，要確定電子是粒子還是波，并不會特別困難。舉個例子，假設我們有一個可以發(fā)出穩(wěn)定粒子束的設備，比如漆彈槍（這個槍可以發(fā)射含有油漆的漆彈，漆彈打到之處會留下油漆?。＠^續(xù)假設我們在房間外用漆彈槍對著兩扇打開的窗戶射出穩(wěn)定的漆彈流。如果我們的問題是“著彈點將如何分布”，答案很簡單，很多漆彈會打在窗戶所在的墻壁上，而那些穿過窗戶的漆彈將打在窗戶后面、房間里面的墻壁上。也就是說，在房間里面的墻壁上，我們將看到著彈點的分布與窗戶所對應的位置一致。同樣地，暫時假設電子為粒子，我們向有兩條狹縫的障礙物發(fā)射上千個電子，在雙縫后面較遠的地方有一張相紙[1]。與我們向兩扇窗戶發(fā)射漆彈時一樣，如果電子是粒子，那么很多電子將擊中障礙物，但那些穿過雙縫的電子應該會擊中相紙上雙縫所對應的區(qū)域。相紙可以記錄電子，因此在這種情況下，我們所得到的記錄看起來應該是上千個離散的粒子擊中相紙上雙縫所對應的位置，并在這個區(qū)域累積起來。（順帶提一句，相紙不能直接記錄電子，但是當與被電子擊中就會發(fā)光的熒光屏搭配使用時，相紙就相當于一個電子探測器。為了便于討論，我們將繼續(xù)認為相紙本身可以記錄電子。）

如果畫個示意圖，這個情形看起來會像圖26-1那樣。這個示意圖所展示的已經不僅是事實了，這一點很重要，不容忽視。具體來說，在電子與諸如相紙這樣的測量設備產生相互作用之前，我們無法探測到或觀察到電子，因此，圖26-1中所畫的電子槍和相紙之間的電子就是一種詮釋，而不是任何一種直接明確的經驗事實。重申一下，這是一個示意圖，或者說是一種詮釋，表明了如果電子是粒子，那么現(xiàn)實可能是怎樣的。記住這一點，圖26-1就是這個情形的示意圖。

請注意電子在相紙上是如何累積的。這就是在電子是粒子的情況下，我們預計能看到的情形，而電子的這種累積模式，我們稱之為“粒子效應”。

接下來考慮另一種情形，假設電子是波，同時假設我們還是讓電子通過同樣有雙縫的障礙物并落在相紙上。在這種情況下，雙縫會把一列波分成兩列，這兩列波隨后會相互作用，其結果將是典型的兩列波相互作用所產生的干涉模式。在這個特定的情況下，我們將看到兩列波相互作用后在相紙上產生交替分布的亮帶和暗帶，亮帶表示兩列波相互疊加的區(qū)域，而暗帶則表示兩列波相互抵消的區(qū)域。這樣的干涉模式非常著名，自19世紀初以來就一直被研究。

因此，如果電子是波，那么有雙縫的障礙物應該帶來與圖26-2所示的類似的效果。重申一下，我想強調的是，這樣的波無法被直接觀察到，所以這幅圖再次詮釋了潛在的現(xiàn)實可能是什么樣子的。理解了這一點，圖26-2所展示的就是在電子是波的情況下，我們將看到的情形。我將把圖26-2稱為“波效應”。

總之，如果電子是粒子，它們應該會產生一種結果，那就是“粒子效應”；如果電子是波，那么它們應該產生一種相當不同的結果，也就是“波效應”。圖26-3概括出了粒子效應和波效應。

接下來，我們將描述幾個有關電子的實驗。從這里開始，我們將結束對詮釋/現(xiàn)實相關命題的討論，只簡單描述事實。也就是說，在本節(jié)剩余篇幅中，我們將描述一些有關量子實體的實驗設置和這些實驗的結果。

四個實驗

下面描述的實驗是相當標準的范例，廣泛用于說明量子事實的一些令人迷惑的特點。實驗1如前面的圖26-1和圖26-2所示，也就是，我們用一把電子槍向一個有雙縫的障礙物發(fā)射電子，并用相紙記錄電子落點的分布。

根據(jù)這個實驗設置，結果很明顯是波效應。也就是說，相紙上會交替出現(xiàn)暗帶和亮帶。請再注意一下，從某種意義上說這是一個直接明確的量子事實。我們所描述的只是由觀察得來的直接明確的結果：如果你設置一個有雙縫的裝置，就像前面所描述的那樣，那么結果就將是一張有暗帶和亮帶交替出現(xiàn)的相紙。

至于實驗2，讓我們把實驗1的設置稍做修改。具體來說，假設我們保留了實驗1的全部實驗設置，只是增加了一個被動電子探測器來監(jiān)測每條縫。也就是說，在上面那條縫的后面，我們放置一個電子探測器，將其稱為探測器A，它將記錄所有通過上面這條縫的電子。在另一條縫的旁邊，我們放置第二個探測器，將其稱為探測器B，它將監(jiān)測下面的這條縫。整個實驗設置看起來就如圖26-4所示。

放置探測器是出于以下考慮：如果電子是波，那么波將會同時通過兩條縫，因此兩個探測器應該總是同時啟動，絕對不可能出現(xiàn)只有一個探測器單獨啟動的情況；如果電子是粒子，那么每個粒子最多只能通過兩條縫中的一個，因此每次應該只有一個探測器探測到電子，兩個探測器絕不會同時啟動。

回憶一下，在實驗1中，結果很明確是波效應。現(xiàn)在我們所研究的實驗完全保留了實驗1的設置，只是多了探測器。由于這些探測器是被動探測器，探測器將不會干擾電子，只會提示電子是否存在。我們最初的判斷會是這個實驗的結果將同樣是波效應。然而，實際情況恰恰相反，這個實驗結果很明確是粒子效應。與此相一致的是，在一個時間點，只有一個探測器啟動。探測器從來沒有在雙縫處同時探測到電子，也就是說，從來沒有出現(xiàn)在波效應中應該出現(xiàn)的情況。這個結果看起來似乎表明有了探測器的存在，電子的行為模式就變成了粒子。

除此之外，假設我們在電子探測器上安裝一個開關（類似電燈開關），這樣我們就可以按照自己的需求打開或關閉探測器。只要調整開關的位置，我們就可以在波效應和粒子效應之間轉換。當開關在關的位置，我們將看到波效應，在開的位置，將看到粒子效應，而且只需要將開關前后一撥，就可以在兩者之間進行轉換，頻率和速度完全由我們自己控制。

這些實驗結果非常出人意料，因為很難想象這樣的探測器可以給實驗結果帶來如此實質性的改變。然而，重申一下，這就是有關量子實體實驗的一個事實，也就是說，如果實驗設置如實驗1中所述，結果是波效應；如果我們如實驗2中那樣加入了電子探測器，結果就是粒子效應。同時，就像前面提到過的，僅僅是打開或關閉探測器，我們就可以在波效應和粒子效應之間轉換。

至于實驗3，我們將使用光子槍而不再是電子槍。光子槍是一種可以發(fā)出光線“單元”的設備。在這個實驗設置中，我們將使用一個分束器（實際上只是一面部分鍍了水銀膜的鏡子）、一個合束器（實際上只是一面雙向鏡）、兩個普通鏡子和一張用來記錄結果的相紙。與實驗2中相似，我們將加入兩個光子探測器，但是在實驗3中，這兩個探測器將保持關閉。總之，整個實驗設置看起來就如圖26-5所示。

這個實驗背后的核心如下：假設光子是波，那么光子槍向分束器發(fā)射一束波，分束器將這束波分成兩束，其中一束繼續(xù)直行，到達圖26-5中右上角的鏡子，而另一束被反射后向下運動，到達圖26-5中左下角的鏡子。這面鏡子再次將波反射，使這束波與另一束波在合束器合并，然后到達相紙?zhí)?。由于在這個情境中存在兩束波，因此它們會互相干涉，并在相紙上產生波的干涉模式，也就是波效應。

另外，如果光子是粒子，那么光子的運動路徑要么是上方/右側路徑，要么是下方/左側路徑。在這里，不存在波的干涉，因此我們將看到的應該是粒子效應。

盡管我們在示意圖中包括了光子探測器，但在實驗3中，這些探測器是關閉的，因此沒有發(fā)揮任何作用。當我們進行這個實驗時，結果很明確是波效應，仿佛光子是波。

在實驗4中，我們將保留實驗3的全部實驗設置，同時把探測器打開。到這時，你很有可能會猜測，如果我們打開探測器，可能會出現(xiàn)奇怪的現(xiàn)象，而且這個猜測確實是正確的。同樣地，這些探測器很可能扮演了一個被動的角色，就像實驗2中的探測器那樣。同時，如果光子像前一個實驗所表明的那樣是波，那么我們將看到的就應該是兩個探測器同時啟動，畢竟，實驗3意味著光子是波，因此一列波應該同時到達兩個探測器。

然而，事實上，實驗結果是同一時間兩個探測器中只有一個啟動，也就是當光子是粒子而不是波時，我們所應該看到的情況。盡管這個實驗幾乎與前一個實驗一模一樣，但是相紙上顯示的結果卻很明確是粒子效應。

與在實驗2中的情況一樣，在實驗4中，我們也可以在探測器上安裝開關，這樣僅通過打開或關閉探測器就可以在波效應和粒子效應之間隨心轉換。讓我們花點時間思考一下這看起來有多奇怪。在實驗3中，似乎只有光子真的是波時，我們才能得到那些實驗結果。而在實驗4中，似乎只有光子真的是粒子時，我們才能得到相應結果。

上面提到的只是上千個實驗中的四個實驗及其結果，不過這四個實驗結果已經足夠體現(xiàn)量子事實的某些奇特之處。在結束這一節(jié)之前，讓我再簡要討論兩點。

第一點，要預測有關量子實體的實驗結果，下面是一個粗略指南。如果實驗中有對量子實體的探測或測量，那么被探測到的似乎是粒子，也就是說，量子實體在被探測時似乎是粒子。但是，在沒有探測或測量時，量子實體的行為模式似乎表明它們是波。因此，作為預測實驗結果的粗略指南，我們關心的是對量子實體的第一次測量或探測發(fā)生在什么時候。在實驗1中，第一次測量的設備是相紙。在用相紙進行測量之前，請把量子實體的行為模式當成像波一樣。由于在雙縫之后才有探測，因此似乎存在波的干涉，而我們所應預計看到的就是一個典型波效應的干涉模式。另一方面，在實驗2中，對量子實體的第一次測量發(fā)生在探測器處，還沒有機會發(fā)生波的干涉。對另外兩個實驗，情況也是如此。

請注意，不要誤解我在前一段所表達的觀點。我并不是說量子實體在被探測時就真的是粒子，在沒有被探測時就真的是波。相反，對于到底發(fā)生了什么，我持不可知論的態(tài)度，只是提供了一個預測此類實驗結果的粗略指南。當量子實體被探測時，把它們當作粒子，當沒有被探測時，則把它們當作波，這樣對上面提到的實驗，就有了一種預測實驗結果的方法。

第二點，也是密切相關的一點，請注意，在涉及量子實體時，測量或探測行為似乎扮演了一個有趣的角色。舉個例子，前面實驗中的電子和光子探測器是檢測電子或光子是否存在的測量設備。這些測量設備似乎會影響實驗現(xiàn)象，也就是影響我們將看到波效應還是粒子效應，而這十分令人困惑。電子、光子或其他量子實體如何“知道”附近有探測器或其他測量設備？基于這一點，什么才真的能算是對量子實體的測量？這些都是很難回答的問題，構成了人們通常所說的“測量難題”。稍后，我們將在第27章中探討這個難題，但是現(xiàn)在我只想讓你了解一下這些關于測量的命題，以及測量在量子理論中所扮演的有趣角色。

量子理論數(shù)學概述

量子理論數(shù)學非常高深，因此不可能在像本書這樣的篇幅中進行詳細介紹，而同時又確保準確、易懂。然而，盡管在這里可能無法詳細介紹量子理論數(shù)學，但是要給出一個準確易懂的大致概念，也并不是特別困難。

我的策略將是分別用兩種在某些方面有些重疊的方法來描述量子理論數(shù)學；第一部分將是對量子理論數(shù)學的一個概括性、描述性的概述；第二部分仍將具有一定的概括性和描述性，但其中增加相當多的詳細內容。如果你希望有更多的了解，在本書最后的章節(jié)注釋中有一部分提供了更詳細的說明。

量子理論數(shù)學的描述性概述

量子理論實際上是一種“波”數(shù)學，應與“粒子”數(shù)學相區(qū)別。對波數(shù)學和粒子數(shù)學進行簡單介紹將會很有幫助。

在物理學中，我們發(fā)現(xiàn)有“粒子”數(shù)學和“波”數(shù)學。說粒子數(shù)學和波數(shù)學，我所指的是兩種數(shù)學，一種是在涉及離散式物體（粒子）時所使用的，另一種是在涉及波的情形時所使用的。舉個例子，如果我們把一個保齡球從房頂扔下去，這種情形中的物體就是一個離散式物體（保齡球），而且這種物體看起來受到多種力（比如重力）的影響。適用于這種情形的數(shù)學就可以算是我所說的“粒子數(shù)學”。

然而，波與粒子是不同的（某些關鍵不同點已經在前面討論過了），因此適合粒子的數(shù)學并不適合涉及波的情形。不過，處理與波相關的情形，也存在已經得到確認的數(shù)學方法。在物理學中我們會用到粒子數(shù)學，也會用到波數(shù)學，具體來說，波數(shù)學讓我們可以預測，對一個系統(tǒng)，我們將探測到怎樣的特性（比如，一列波的能量有多少），以及這個系統(tǒng)將如何發(fā)展變化（比如，在未來某個時間點，波峰將在哪里）。

重申一下，量子理論是一種波數(shù)學。不過，正如前面提到過的，這并沒有什么不尋常之處。波數(shù)學在物理學中隨處可見，量子理論只是具體呈現(xiàn)了物理學家非常熟悉的一種數(shù)學方法。

在結束這一小節(jié)之前，我想探討一個常見的問題，而反過來，該問題又可以用來結束這個概括描述了量子理論數(shù)學的小節(jié)?？傊?，量子理論數(shù)學是一種波數(shù)學，它與其他類型的數(shù)學在物理學中的使用方式相同。具體來說，根據(jù)一個系統(tǒng)目前的狀態(tài)，你可以用量子理論數(shù)學來預測會觀察到這個系統(tǒng)怎樣的特點，以及這個系統(tǒng)在未來會呈現(xiàn)怎樣的狀態(tài)。

如果量子理論數(shù)學是一種常見的波數(shù)學，那為什么我們經常聽說量子理論是一個很不尋常的理論呢？在很多關于量子理論的文獻中，你很容易有一種感覺，那就是從某種意義上說，量子理論與過去的物理學理論有著顯著的差異。

的確，從某個角度來看，我認為這種感覺是正確的。舉個例子，圍繞量子理論的命題迫使我們重新思考人們從古希臘時期就開始秉持的有關這個世界的假設。然而，量子理論數(shù)學又是一種常見的波數(shù)學，那么量子理論到底在哪些方面與其他物理學理論不同呢？

有一個差異并不大，但是值得一提，那就是量子理論數(shù)學給出的通常是概率性預言，而不是確定的預言。舉個例子，如果我們用量子理論數(shù)學來預言一個電子的位置，數(shù)學計算將會告訴我們在不同位置探測到電子的可能性。相比之下，如果是針對從房頂落下的保齡球，數(shù)學計算將會給我們提供一個確定的預言。簡言之，物理學其他分支所給出的預言通常是確定的（“將在這個方向探測到保齡球”），而量子理論所進行的預言通常是概率性的（“在這個位置探測到電子的概率是多少”）。不過，這只是量子理論數(shù)學與其他物理學分支的一個細微差異。我腦中想

到的主要差異是關于對數(shù)學的詮釋。由于涉及詮釋的命題是第27章的主要話題，在這里我僅進行簡短討論。

第一個重點是，物理學中使用的數(shù)學實際上只是數(shù)學。因此，數(shù)學與這個世界沒有必然或內在的固有聯(lián)系。這一點很容易被忽視，但要理解量子理論在哪些方面不尋常，這一點是關鍵。要更好地理解這一點，讓我們再思考一下從房頂落下的保齡球的例子。在用數(shù)學對下落的保齡球進行預言時，其實并不需要把所運用的數(shù)學詮釋成關于下落的物體的。所用到的方程式只是一個方程式（一個數(shù)學計算），只是一些符號的集合，這些符號根據(jù)有關的數(shù)學規(guī)則組合在一起，并受這些規(guī)則控制。

然而，事實上，我們從某個角度對數(shù)學進行了詮釋（比如把數(shù)學詮釋成關于下落的保齡球的），這樣的詮釋一直都非常有成效、非常有用（比如，對進行預言非常有用）。除此之外，在對與下落的保齡球有關的數(shù)學進行詮釋時，我們通?；蚨嗷蛏購南嗤慕嵌瘸霭l(fā)。舉個例子，存在一種廣泛的共識，那就是方程式的這個部分代表了下落的保齡球，那個部分代表了時間，另一個部分代表了保齡球開始下落時的位置，等等。簡言之，對這個方程式如何表述或者說“描繪”與下落的保齡球有關的情形，存在一種廣泛的共識。

前面的例子涉及與下落的保齡球有關的方程式，在與此類似的情形中，我們通常會有一致的詮釋，而這恰恰掩蓋了我們其實是在進行詮釋的事實。換句話說，我們確實是在對數(shù)學進行詮釋，但是我們是從同樣的角度進行詮釋，而且在過去幾百年間一直如此，因此，我們通常不會發(fā)現(xiàn)，使用數(shù)學來對這個世界進行預言需要我們把數(shù)學詮釋成關于這個世界的數(shù)學。然而，事實上，我們把數(shù)學與這個世界“進行關聯(lián)”的方式并不是數(shù)學內在的固有屬性，而是我們對數(shù)學的一種詮釋。

在前面幾段中我試圖讓你看到，對如何把和下落的保齡球有關的數(shù)學與這個世界聯(lián)系起來，存在廣泛共識（“方程式的這個部分代表了下落的保齡球”等）。這正是量子理論數(shù)學的主要不同之處，也就是，對如何把量子理論涉及的數(shù)學與這個世界聯(lián)系起來，并不存在共識。

這里我需要謹慎一些，以避免誤解。讓我們思考一下用量子理論預言電子位置的例子。幾乎每個人都認為其中涉及的數(shù)學確實是與這個世界相關聯(lián)的，至少在一般意義上是這樣。舉個例子，大多數(shù)人都認為存在電子這樣的物體，認為電子可以影響我們認為是用來記錄電子位置的測量設備的物體，還認為量子理論數(shù)學使我們可以預測，在涉及電子的某些情況下，這些測量設備會有怎樣的表現(xiàn)。因此，一般來說，幾乎所有人都認為量子理論數(shù)學確實與像電子和測量設備這樣的物體聯(lián)系在一起。

如果你想更進一步了解，那么量子理論數(shù)學所展示的現(xiàn)實似乎非常怪異。我們將在第27章中更詳細地探討它究竟從哪個角度來說是非常怪異的。在這里，我只想簡單陳述如下：量子理論數(shù)學所展示的現(xiàn)實非常怪異，這也就是為什么人們常會聽說量子理論是一個非常奇怪的理論。

作為對這一小節(jié)的總結，有一點值得再次強調，那就是量子理論數(shù)學一點都不奇怪，事實上奇怪的是對量子理論數(shù)學的詮釋。順帶提一下，這里很適合回憶一下我們在本書前面討論過的一點（在第8章中關于工具主義和現(xiàn)實主義的討論）。你完全不需要進行這樣的詮釋。也就是說，用工具主義態(tài)度來對待一個理論（在這里就是對待量子理論），是一種常見且值得尊敬的態(tài)度。對量子理論，工具主義態(tài)度意味著秉持如下立場：我們有量子理論數(shù)學；我們有精通使用量子理論數(shù)學的專家；量子理論數(shù)學使我們可以做出非常準確和可信的預言。誰又能要求得更多呢？

從某種程度上，對量子理論更為詳細但仍為描述性的概述正如在前面所描述的，量子理論數(shù)學是一種波數(shù)學。在這一節(jié)中，讓我們首先討論幾個有關波和波數(shù)學的事實。

首先是一個相當不起眼的事實，你可能從來都沒認真思考過這個事實，那就是波以群組的形式出現(xiàn)。舉個例子，由弦樂器（比如吉他和五弦琴）產生的波，彼此之間存在相似之處，但是與管樂器（比如單簧管和薩克斯管）產生的波之間的相似點并不相同，而管樂器產生的波之間的相似點與打擊樂器（比如低音鼓和邦戈鼓）產生的波之間的相似點又不相同。這就像是你跟家人之間有相似點，但是與我跟家人之間的相似點并不一樣。簡言之，我們可以把波按群組分類。

由于波以群組的形式出現(xiàn)，因此適用于波的數(shù)學同樣也可以按群組分類也就不足為奇了。下面假設圖26-6代表了波數(shù)學的不同群組。

在圖26-6中，左邊的家族圖標代表了波家族，我把它們稱為家族A、B、C、D等。這就像是你的姓氏代表了你的整個家族。右邊多個相同的圖標代表了每個群組中的各個成員，我用a1、a2、a3等來指代它們。重申一下，這就像是你的名字、父母的名字、兄弟姐妹的名字，它們可能都分別代表了你家族中的一個成員。

波以群組的形式出現(xiàn)并不稀奇，現(xiàn)在與此形成對比的是，任意特定的波都可以通過把任意波群組中合適的成員組合在一起來產生，這是個相當令人驚訝的事實。以某個特定的波為例，比如撥動吉他上的弦時產生的波。假設圖26-7代表的是描述了這列波的方程式?，F(xiàn)在，從上面的群組圖譜中選擇任意一個群組，比方說，我們選了群組A。在群組A中有一些成員，當它們組合在一起，就會產生我們所討論的這列波。也就是說，把群組A中合適的成員組合在一起可以產生這列波，如果用示意圖來表示，如圖26-8所示。

值得注意的是，把任意其他群組中合適的成員組合在一起也可以產生同樣的波方程式。舉個例子，把群組C中合適的成員組合在一起也可以產生同樣的波方程式，如圖26-9所示。

總的來說，任意一列給定的波都可以通過把任意一個給定的波群組中合適的成員組合在一起來產生。正如前面提到過的，這個關于波的事實相當不可思議，自20世紀以來已經得到廣泛研究，而且證明會產生很多結果。比如，正是因為這個事實才使得用電子設備復現(xiàn)音樂成為可能。（想一想，一個小小的電子設備，與吉他、鼓或喇叭幾乎沒有任何相同點，但卻可以產生與吉他、鼓或喇叭幾乎完全相同的聲音，這難道不相當令人震驚嗎？為什么會這樣？其核心就是前面所討論的關于波的這些事實。概括來說，打個比方，你用來聽音樂的耳機產生了一系列波，組成了一個波群組，因此，根據(jù)前面所討論的關于波的事實，把耳機波群組中合適的成員組合在一起就可以產生由吉他、喇叭、人聲或任意物體產生的波。）

實際上，有了這個并不稀奇的事實（波以群組的形式出現(xiàn)）和另一個相當不可思議的事實（任意一列給定的波都可以通過把任意一個給定群組中合適的成員組合在一起來產生），我們就足以更好地理解量子理論數(shù)學原理了。那么，這一小節(jié)的最后一個任務就是解釋如何把這些關于波數(shù)學的事實與量子理論關聯(lián)起來。

盡管清晰解釋有關波數(shù)學的這些事實與量子理論之間的關聯(lián)要花費很多工夫，但我們可以進行簡略探討。以下就是最簡略的一個總結：

（1）一個量子系統(tǒng)的狀態(tài)由某個特定的波數(shù)學群組所代表，通常其被稱為這個系統(tǒng)的波函數(shù)。

（2）對一個量子系統(tǒng)可能進行的每一種測量都與某個特定的波群組相關聯(lián)。

（3）對一個量子系統(tǒng)進行測量時，在（與這個測量相關的）波群組中找到可以組合在一起產生這個量子系統(tǒng)波函數(shù)的那些成員，就可以得出有關測量結果的預測。

現(xiàn)在，讓我們探討一下這些意味著什么，首先從對（1）的解釋開始。思考一個量子系統(tǒng)，比如在某個特定環(huán)境中的某個特定電子。就像吉他弦產生的一列波可以由某個特定的波數(shù)學群組來表達一樣，在某個特定環(huán)境中的電子也可以由一個波數(shù)學群組來表達。重申一下，這個波數(shù)學群組就被稱為此系統(tǒng)的波函數(shù)。

讓我們假設電子的波函數(shù)如圖26-10所示。因此，理解（1）是相對直接且明確的——一個量子系統(tǒng)，比如在某個特定環(huán)境中的一個電子，可以用一個波函數(shù)來表達。

理解（2）就要困難一些，但仍然是比較直接明確的?；貞浺幌拢ㄒ匀航M的形式出現(xiàn)，與波相關聯(lián)的數(shù)學也以群組的形式出現(xiàn)。在量子理論數(shù)學里，每一個這樣的群組都與某個特定類型的測量有關。比如，電子的位置就是一種可能會對這個電子進行的測量。在各個波數(shù)學群組中，有一個群組將會與對位置的測量相關聯(lián)，另一個群組會與對電子動量的測量相關聯(lián)，還有一個群組會與對電子自旋的測量相關聯(lián)……對各種我們可能對電子進行的測量，都會有一個波數(shù)學群組與之相關聯(lián)。

如果用示意圖來表示，那么將如圖26-11所示。該圖只列舉了三種測量，但實際上對一個量子系統(tǒng)也許能進行無數(shù)種測量。正如圖26-11所示的以及前面（2）中所描述的，每一種這樣的測量都會與一個特定的波群組相關聯(lián)。（順帶提一下，為了便于討論，我用P、M和S來代表圖中三種測量，但應該注意的是，這些并不是物理學家用來代表位置、動量和自旋的標準縮寫。）

理解（3）很有可能是這一部分中最難的了。讓我們通過例子來理解。假設我們有一個在特定情境中的特定電子，我們想預言對電子位置進行測量會得到怎樣的結果。為了便于討論，假設在這個例子中，可能發(fā)現(xiàn)電子的位置只有兩個?，F(xiàn)在，通過（1）我們知道了有一個波函數(shù)與這粒電子相關聯(lián)（見圖26-12）；通過（2）我們知道了在各個與波相關聯(lián)的數(shù)學群組中，會有一個群組與對位置的測量相關聯(lián)，讓我們假設這個群組是群組P（見圖26-13）。

現(xiàn)在，回憶一下前面提到的那個不可思議的事實，也就是任意一個波群組中合適的成員都可以組合在一起來產生任意特定波函數(shù)。因此，具體來說，群組P中會有一些合適的成員，當它們組合在一起時可以產生我們假設的特定電子的波函數(shù)。讓我們假設p8和p11就是這種成員，如果用示意圖來表示，如圖26-14所示。

有了這些信息，我們就可以解釋（3）了。回想一下，我們想做的是對特定電子的位置進行預言，群組P是與對電子位置的測量相關聯(lián)的群組，同時p8和p11是群組P中可以組合在一起來產生代表特定電子波函數(shù)的成員。

這兩個群組成員p8和p11，能使我們做出所需的預言。在這個例子中，有兩個區(qū)域可能找到特定電子。事實證明，對p8進行某些直接且明確而標準的數(shù)學計算，結果將是0或1，這個數(shù)字代表了在第一個區(qū)域里找到特定電子的可能性；對p11進行同樣的數(shù)學計算，結果也將是0或1，而這個數(shù)字則代表了在第二個區(qū)域里找到特定電子的可能性。這就是通過p8和p11對電子位置進行預言的方式。（雖然前面提到的數(shù)學計算并不是理解這段討論的關鍵，不過如果你對此感興趣，下面是對此的概述：p8是一個與某列特定波相關聯(lián)的波數(shù)學群組，每一列波都有振幅，因此p8也有一個與之相關聯(lián)的振幅。這個數(shù)學計算涉及p8振幅的平方。在這個計算中，所涉及的數(shù)學性質決定了其結果將總是為0或1。正如前面提到過的，這個數(shù)字代表了在第一個區(qū)域里找到特定電子的可能性。對p11，計算也是類似的，也就是計算出與p11相關聯(lián)的振幅的平方，所得數(shù)字就是在第二個區(qū)域里找到特定電子的可能性。）

因此，（1）（2）和（3）描述了量子理論數(shù)學如何用于預測對量子系統(tǒng)進行測量時可能觀察到的結果出現(xiàn)的概率?？偨Y一下：（1）描述的是一個量子系統(tǒng)是由這個系統(tǒng)的波函數(shù)所代表的；（2）描述的是波群組與不同種類的測量相關聯(lián)；（3）描述的是群組中可以組合在一起產生波函數(shù)的成員，讓我們可以對與這個波群組相關聯(lián)的測量結果進行預測。

狀態(tài)隨時間的演變

在結束這一節(jié)前，讓我再簡要介紹一下狀態(tài)隨時間的演變。到目前為止，我們所討論的只是在一個給定狀態(tài)下對一個量子系統(tǒng)進行測量的結果。我們在前面討論過，物理學通常不僅是關心在某個特定時間進行測量時所出現(xiàn)的結果，還會預測在未來可能進行的測量的結果。

在量子理論中，一個系統(tǒng)隨時間的演變，可以用薛定諤方程來預測。回憶一下前面提到的（1），也就是一個系統(tǒng)當前的狀態(tài)由這個系統(tǒng)的波函數(shù)所表達。概括地說，通過薛定諤方程，我們可以從表達當前系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)出發(fā)，計算出這個系統(tǒng)未來將是什么狀態(tài)。

薛定諤方程與其他學科中方程式所扮演的角色類似。讓我們回到從屋頂落下的保齡球的例子，牛頓物理學中有很多廣為人們所熟悉的方程式，它們使我們不僅可以預測當下進行測量所得的結果，還可以預測整個系統(tǒng)隨時間會如何變化。也就是說，這些牛頓物理學中的方程式控制著狀態(tài)隨時間的變化。與此類似，在量子理論中，薛定諤方程也控制著量子狀態(tài)隨時間的變化。

結語在本章開篇部分，我們概括了解了一些基本量子事實。對于經驗性量子事實是什么不存在任何疑問，盡管從某種意義上來說，它們確實是很怪異的事實。然而，它們的怪異之處更多的是由從現(xiàn)實出發(fā)的觀察角度所造成的，具體來說，基本上，當我們試圖想象什么樣的現(xiàn)實可以產生這樣的事實時，這些怪異之處就會出現(xiàn)了。我從一開始就已經強調過了，現(xiàn)實問題及與詮釋相關的命題要與在本章中所討論的命題區(qū)分開來，我們將在第27章探討這些命題。

在結束本章之前，還有最后一點需要探討。在前面討論數(shù)學的時候，我主要強調了，實際上量子理論數(shù)學與在物理學中存在了上百年的那種數(shù)學相比，扮演的角色是相同的。具體來說，就像在本章前面有關章節(jié)所介紹的，量子理論數(shù)學讓我們可以預測在某個特定時刻所進行的測量的結果，同時，也可以通過薛定諤方程來預測在未來某個時刻系統(tǒng)將處于怎樣的狀態(tài)。

然而，很重要的一點是，當與通常所說的“投影假設”（將在第27章中討論）相配合時，薛定諤方程的用法與其他科學學科中的方程式非常不同。不過，要理解這個不同之處，最好是在涉及詮釋/現(xiàn)實問題的情境中。在第27章中，我們將非常小心謹慎地探討這些命題。

[1] 關于實驗設置的更多內容可參見托馬斯·楊（1807）中的“雙縫實驗”（又稱“楊氏雙縫干涉實驗”）。